De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Integreren

Hallo wisfaq,

Ik wil graag de volgende integraal berekenen:

I=INT[(tan(x))5]dx

Ik heb dit op een vrij ingewikkelde manier opgelost, door gebruikt te maken van trigonometrische reductie, zodat ik I kan schrijven als tan(x)⁴/4-INT[tan(x)3]. Dan maak ik gebruik van tan2x=sec2-1....Ik krijg de juiste antwoord maar dit is vrij ingewikkeld en omslachtig!

Volgens mij kan dit ook opgelost worden door gebruik te maken van een handige substitutie maar ik zie niet hoe ik dat precies kan doen.

Groeten,

Viky

viky
Iets anders - donderdag 8 december 2016

Antwoord

Beste Viky,

Ook in het begin kan je tan2x afsplitsen en vervangen door sec2x-1; aan de hand van substitutie kan je die eerste stap zo zelf zetten zonder te moeten steunen op reductieformules:
$$\int (\sec^2x -1)\tan^3 \,\mbox{d}x
= \int \sec^2x \tan^3 \,\mbox{d}x-\int \tan^3 \,\mbox{d}x$$De substitutie $u = \tan x$ in de eerste integraal geeft je al het stuk $\tfrac{1}{4}\tan^4 x$. Verder:
$$\int \tan^3 \,\mbox{d}x = \int (\sec^2x -1)\tan x \,\mbox{d}x
= \int \frac{1-\cos^2x}{\cos^3x}\sin x \,\mbox{d}x$$en stel $t = \cos x$.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 8 december 2016



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb