De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Complexe formules en bewijzen

Hallo daar ben ik weer! Ik heb al eerder een vraag gesteld en antwoord gehad maar ik snap het niet helemaal. Direct reageren lukte niet dus doe ik het maar zo:
Ik moet deze formule bewijzen: _
|z1 * z2|=|z1| * |z2| door de formule |z|=(z*z) te gebruiken. (de tweede z in de laatste formule is de geconjugeerde). Ik snap nu wel hoe je de eerste formule kan bewijzen maar ik snap alleen niet hoe je dat met de tweede formule kan doen. In mijn opdracht staat begin zo:
_____ __ __
|z1 * z2|=((z1*z2)*(z1*z2))= (z1*z2*z1*z2)=

kunnen jullie me daarbij verder helpen?

Verder moet ik tan(°1+°2) uitdrukken in sin °1, cos °1, sin °2 en cos °2.

Alvast weer bedankt!

inge
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 2 maart 2003

Antwoord

Om het gedoe met getalletjes 1 en 2 te vermijden noem ik de complexe getallen gewoon a, b enz.
De geconjugeerde van a noem ik conj(a), omdat het plaatsen van het streepje op de z niet zo goed lukt.

Je begrijpt, zeg je, waarom |z| = (z*conj(z) en dus ook dat |z|2 = z * conj(z)

Neem nu eens voor z het product van twee complexe getallen a en b, dus z = a*b
Dan geldt op grond van het voorgaande dat |z|2 = |a * b|2 =
(a * b) * conj(a * b)

Maar je kunt voor conj(a * b) schrijven conj(a) * conj(b), zodat de voorlaatste regel nu wordt:

|z|2 = (a * b) * (conj(a) * conj(b)) = (a * conj(a)) * (b * conj(b)) en dat is op grond van het beginstukje van de uitleg precies |a|2 * |b|2
Omdat |z|2 = |a * b|2 hebben we nu |a * b|2 = |a|2 * |b|2 en met weglaten van de kwadraten ben je er dan.

Het tweede deel van je vraag gaat bijv. als volgt:

Tan(a + b) = sin(a + b) / cos(a + b) =
[sina.cosb + cosa.sinb] / [cosa.cosb - sina.sinb]

Deel in deze forse breuk nu Úlke term (dus zowel boven als onder de streep!) door cosa.cosb en dan zul je zien dat je krijgt:
[tana + tanb] / [1 - tana.tanb]

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 3 maart 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3