De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Goniometrische vergelijkingen

Hoi allemaal,
ik ben nu op school bezig met het hoofdstuk goniometrische vergelijkingen en dit begrijp ik (denk ik) helemaal tot nu toe. Ik zit nu bij het stuk: vergelijkingen die symmetrisch zijn in sinx en cosx. Het komt erop neer dat ik niet begrijp wat ze hiermee bedoelen en dat ik ook niet snap hoe ik de bijbehorende oefening moet oplossen.

Zou iemand de volgende oefening kunnen oplossen zodat ik deze methode ook kan toepassen op de andere oefeningen?
Alvast bedankt!
Sarah

cos6x + sin6x = 5/8

Sarah
3de graad ASO - zaterdag 30 april 2016

Antwoord

Het idee bij dit soort sommen is dat je twee dingen tegelijk doet: algebra en gonio. De algebra´sche kant is bijvoorbeeld deze formule
$$
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
$$Vul in $a=\cos^2x$ en $b=\sin^2x$:
$$
\cos^6x+\sin^6x=(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x)
$$Dat maakt de vergelijking eenvoudiger: $\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x=\frac58$. Dan weer wat algebra
$$
a^2-ab+b^2=a^2-2ab+b^2+ab = (a-b)^2+ab
$$en dus
$$
\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x =(\cos^2x-\sin^2x)^2+\cos^2\sin^2x
$$Dan weer gonio: $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ en $2\sin x\cos x=\sin2x$ de vergelijking wordt dus
$$
\cos^22x+\frac14\sin^22x=\frac58
$$Nu nog een keer $\cos^22x+\sin^22x=1$ gebruiken en er komt
$$
\frac34\cos^22x+\frac14=\frac58
$$

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 30 april 2016



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb