De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Euler

Een complex getal is: z=x+yi = r ∑ cos(phi)+i∑sin(phi)
z=1 op de eenheidscirkel. Er geldt:
cos(phi)+i∑sin(phi) = wortel[cos2(phi) + sin2(phi)]=√(1)=1
Maar ik heb:
cos(phi)+i∑sin(phi) = wortel[cos2(phi) + i2 ∑ sin2(phi)]
i2=-1 $\Rightarrow$
cos(phi)+i∑sin(phi) = wortel[cos2(phi) - 1 ∑ sin2(phi)]
Waar maak ik de fout?

jakob
Ouder - maandag 18 april 2016

Antwoord

Waar jij op doelt is dat voor punten z op de eenheidscirkel geldt dat |z|(=r)=1, niet z=1!

De definitie van de absolute waarde |a+bi| is $$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$Die getallen a en b staan voor het "reŽle deel" en het "imaginaire deel" van het complexe getal.

Passen we deze absolute waarde in jouw geval toe op het punt $\cos(\phi)+i\sin(\phi)$, dan krijgen we
$$|\cos(\phi)+i\sin(\phi)| = \sqrt{\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)}=\sqrt{1}=1$$De berekening die je daaronder geeft $$\cos(\phi)+i∑\sin(\phi) = \sqrt{\cos^2(\phi) + i^2 ∑ \sin^2(\phi)}$$berekent kennelijk niet de absolute waarde (en het =-teken staat er sowieso onterecht, je noteert de absolute waarde immers niet).

Ik denk dat je $i∑\sin(\phi)$ als imaginair deel hebt geteld, en niet $\sin(\phi)$, zonder $i$ dus. Dat is wel een fundamenteel verschil!

Het idee is juist dat het imaginaire deel een reŽel getal is, zodat we een complex getal als combinatie van twee reŽle getallen kunnen weergeven. Zo tekenen we een complex getal ook in een assenstelsel: het punt a+bi krijgt coŲrdinaten (a,b). Ten opzichte van het traditionele assenstelsel Oxy wordt nu de $x-$as de "reŽle as" waarop het reŽle deel wordt uitgezet en de $y-$as de "imaginaire as" waarop het imaginaire deel wordt uitgezet.

Met vriendelijke groeten,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 18 april 2016



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb