De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Limieten in symbolen

Hallo
In mijn cursus staan er heel wat definities m.b.t. limieten van rijen in symbolentaal. Een oefening zegt het volgende:
Geef een voorbeeld van een rij (xn)nϵN in R die voldoet aan
voor alle $\epsilon>$ 0, bestaat een n0 ϵ N, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n0 $\Rightarrow$ |xn+5| $<$ $\epsilon$
Er bestaat een n0 ϵ N, voor alle $\epsilon>$ 0, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n0 $\Rightarrow$ |xn+5| $<$ $\epsilon$

Maar ik snap het verschil niet in notatie, waardoor ik dus ook niet een voorbeeld kan geven van zo'n rij...
Kan iemand me helpen?
Met vriendelijke groet
Julie

Julie
Student universiteit BelgiŽ - zondag 27 december 2015

Antwoord

Hallo

Ik begrijp sommige symbolen in je vraag niet, maar ik vermoed dat het gaat over een rij die nadert naar -5.

Bv.: xn = -5n/(n+1)

Voor n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... zijn de termen xn -2.5, -3.33, -3.75, -4, -4.17, -4.29, -4.37 ...
Voor grotere waarden van n naderen de termen xn steeds dichter naar -5.
We drukken dit uit door te zeggen dat voor grote waarden van n, de termen xn steeds korter liggen bij -5
Of:
Als we n groter nemen dan een bepaald groot getal n0, zal het verschil tussen xn en -5 zeer klein worden, namelijk kleiner dan een willekeurig (klein) getal $\epsilon$
Of:
Voor alle (zeer kleine) positieve waarden van $\epsilon$, bestaat er een (grote) waarde voor n0, zodanig dat als we n groter nemen dan n0, het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan de zeer kleine waarde van $\epsilon$
Dus

'$\epsilon>$0:$n0$\in$N0:'n$\in$N0:n$>$n0 $\Rightarrow$|xn-(-5)|$<\epsilon$

Dus $\epsilon$ is willekeurig, maar zeer klein (vandaar), n0 hangt af van de gekozen $\epsilon$ (vandaar)

Wil je bv. hebben dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan 0.5(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 9 (= n0), want x10=-4.545
Wil je hebben dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan 0.3(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 15 (= n0), want x16=-4.706
Wil je hebben dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan 0.1(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 49 (= n0), want x50=-4.902
Maar hoe klein je $\epsilon$ ook neemt, je zult altijd een grote waarde voor n0 vinden, zodanig dat voor alle n$>$n0, zal gelden dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan $\epsilon$

Ok?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 27 december 2015
 Re: Limieten in symbolen  


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb