De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Symmetrieas exact weergeven bij oplossen van vergelijking

Als ik deze vergelijkingen moet oplossen:

2cos(x-1/3$\pi$)=√2

Dan bereken ik een exacte waarde en de periode. Dan schets ik de grafiek maar om de overige oplossingen te berekeningen moet ik gebruik maken van de symmetrie. Nu weet ik niet hoe ik die symmetrieas exact bepaal zodat ik daarvandaan de overige oplossingen binnen een gegeven interval kan berekenen.

G. Dim
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 23 juni 2015

Antwoord

Het oplossen van zo'n goniometrische vergelijking gaat zo:

$
\eqalign{
& 2\cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \sqrt 2 \cr
& \cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \cr
& x - \frac{1}
{3}\pi = \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x - \frac{1}
{3}\pi = - \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = \frac{7}
{{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{1}
{{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr}
$
  • Maar waar gebruik ik nu de symmetrieas?

Als je van $
\cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2
$ naar de volgende stap gaat.

In 't algemeen geldt:

$
\cos \alpha = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \Rightarrow \alpha = \frac{1}
{4}\pi
$

Maar dat is maar een klein deel van 't verhaal. Er zijn nog veel meer hoeken... allereerst de hoeken modulo $
2\pi
$. Daarom krijg je de toevoeging $
... + k \cdot 2\pi
$, maar ook de hoeken waarvoor $
\alpha = - \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi
$.

Bij die laatste verzameling oplossing speelt de symmetrie van de cosinusfunctie een rol.

q75925img1.gif

Er zijn dus voor $\alpha$ twee verzamelingen met oneindig veel oplossingen. Vandaar misschien?

Zie Vergelijkingen met sinus en cosinus

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 23 juni 2015
 Re: Symmetrieas exact weergeven bij oplossen van vergelijking 


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb