De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convergentie in kans

Hallo wisfaq,

Zij Z1,Z2,... een rij van N(0,1) stochastische variabelen (onafhankelijk en identiek verdeeld).

Definieer Xn=e^(a*Sn-b*n), a en b zijn reŽle getallen.

met Sn=som[Zi], i=1 t/m n.

Ik wil het volgende aantonen:

1. Xn convergeert in kans naar 0 d.e.s.d.a. b$>$0.
2. Xn convergeert bijna zeker naar 0 d.e.s.d.a. b$>$0.

Om 1. te bewijzen is het niet toegestaan eerst 2. bewijzen en dan concluderen dat bijna zeker convergentie impliceert convergentie in kans.

Ik begrijp helemaal niet hoe ik hier te werk moet gaan.

Ik moet bewijzen dat

voor iedere epsilon$>$0, convergeert P(|Xn-X|$\ge$0) naar 0 voor n-$>$oneindig.

Dus ik moet bewijzen dat

P( |e^(a*Sn-b*n)| $\ge$ eps)-$>$ 0

Ik denk dat P( |e^(a*Sn-b*n)| $\ge$ eps) moet herschrijven en afschatten.

Groeten,

Viky

viky
Iets anders - woensdag 25 februari 2015

Antwoord

Ombouwen en afschatten, inderdaad: als $a$>$0$ dan kun je $e^{aS_n-bn}\ge\epsilon$ omwerken tot
$$
\frac1{\sqrt n}S_n\ge \frac ba\sqrt n-\frac{\ln\epsilon}{a\sqrt n}
$$
Nu is $\frac1{\sqrt n}S_n$ weer $N(0,1)$ verdeeld en $\lim \frac ba\sqrt n-\frac{\ln\epsilon}{a\sqrt n}=\infty$ als $b$>$0$, dus de limiet van de kans is inderdaad $0$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 25 februari 2015



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb