De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Machtreeksontwikkeling

Gevraagd wordt om te laten zien dat de functie gegeven door f(x) = 1/|x-1|3+1 een machtreeksontwikkeling rond het punt a=0 heeft en om de convergentiestraal te bepalen.

Om dit te weten te komen moeten de singulariteiten van deze functie bepaald worden, oftewel |z-1|3+1 = 0 opgelost worden.
|z-1|3 = -1 heeft 3 oplossingen, namelijk:
|z-1| = e^($\pi$i/3)
|z-1| = e^($\pi$i)
|z-1| = e^(5$\pi$i/3

Vanaf hier loop ik een beetje vast.
Hoe bepaal ik vanaf hier de singulariteiten van f(z)?

Donald
Student universiteit - dinsdag 20 januari 2015

Antwoord

Ten eerste: de functie $1/(|z-1|^3+1)$ is niet analytisch, dus complexe methoden werken niet meteen. Ten tweede: je drie vergelijkingen kunnen niets opleveren want telkens staat links iets dat reŽel en positief is en rechts iets dat niet reŽel is.
Echter, uit de vraag lijkt het of het in eerste instantie om reŽle $x$-en gaat; in dat geval geldt voor $x$ dicht bij $0$ dat $|x-1|=1-x$. Je hebt het dus eigenlijk over de functie $1/((1-x)^3+1)$ en dan heb je de singulariteiten al bijna te pakken: $z=1-e^{\frac{\pi i}3}$, $z=1-e^{\pi i}=2$, en $z=1-e^{-\frac{\pi i}3}$.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 21 januari 2015



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3