De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Eenheidssfeer

Leid de formules voor de stereografische projectie af.
Het lijnstuk naar N(0,0,1) kan beschreven worden met:
(1-y)(0,0,1) + t(x,y,0) met 0t1

Het antoord geeft:
x2+y2+z2 = 1(x,y,z) = (1-t)(0,0,1)+t(x,y,0) =
x=tx, y=ty, z=1-t

Waar moet dit ingevuld worden?

Jack
Student hbo - dinsdag 18 januari 2011

Antwoord

Maak onderscheid tussen bepaalde (x,y) (=(a,b)) en onbepaalde (x,y).

Het lijnstuk van (0,0,1) naar (a,b,0) (met a2+b2>1) heeft vectorvoorstelling
(x,y,z) = (1-t)*(0,0,1) + t(a,b,0) met t[0,1].

Snijden van dit lijnstuk met de bol
x2+y2+z2=1

geeft:

(ta)2+(tb)2+(1-t)2=1, ofwel:

t2(a2+b2+1) -2t = 0.

Met t=0 krijg je (x,y,z)=(0,0,1), anders t=2/(a2+b2+1)

en (x,y,z) = (1-2/(a2+b2+1))*(0,0,1) + 2/(a2+b2+1)(a,b,0).

Het rechterlid is de stereografische projectie van (a,b,0).
Je kunt dat nog wat verder uitwerken en vereenvoudigen.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 19 januari 2011



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb