De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Limiet met cosinus

Ik zit met een moeilijke limiet met een cosinus er in.

lim x®3 cos x - cos 3/x-3

Ik heb al de cosinus omgeschreven naar een sinus, maar ik kom dan maar niet steeds verder.
Het goede antwoord hoort -sin 3 te zijn.

Als iemand mij kan helpen, graag!

Ronny
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 mei 2010

Antwoord

Hallo, Ronny.

Gewoon wat goniometrieregels gebruiken. Als volgt:

cos(x) = cos(3 + (x-3)) = cos(3)·cos(x-3) - sin(3)·sin(x-3) =
cos(3)·(1 - 2·sin2((x-3)/2)) - sin(3)·sin(x-3), dus

(cos(x) - cos(3))/(x-3) = (-2·cos(3)·sin2((x-3)/2) - sin(3)·sin(x-3))/(x-3) =
-cos(3)·sin((x-3)/2)·(sin((x-3)/2)/((x-3)/2) - sin(3)·(sin(x-3))/(x-3).

Als nu x®3, dan u=(x-3)/2®0 en v=x-3®0, dus de limiet is die van
-cos(3)·sin(u)·sin(u)/u - sin(3)·sin(v)/v
met u en v naderend naar 0.

Nu geldt, zoals u weet: sin(w)/w nadert naar 1 als w nadert naar 0.

Dus de gevraagde limiet wordt -cos(3)·0·1 - sin(3)·1 = -sin(3).

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 19 mei 2010


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb