De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convergentie van Fourierreeksen

Beste wisfaq,

Ik heb een vraag over Fourieranalyse.

Zij f een periodieke functie, en f is k maal differentieerbaar (f in Ck). Ik wil bewijzen dat de Fourierreeks fn van f voldoet aan

fn=0(1/(|n|k)), (kleine o notatie)

ofwel, (|n|k)∑fn-0 als |n|-oneindig.

Ik begrijp niet hoe ik dit moet bewijzen. Een hint is dat je de Riemann-Lebesgue lemma kan gebruiken.

Lemma. Als g Riemann integreerbaar op de cikel dan
g(n)<-0 als |n|-oneindig.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
Student universiteit - dinsdag 9 maart 2010

Antwoord

Het idee is door middel van partiŽle integratie de coŽfficiŽnten van f te relateren aan die van f' en f'' en ... en f(k) (k-de afgeleide).
Voor de `gewone' FouriercoŽfficiŽnten (op het interval [-p,p]) komt er bijvoorbeeld int(f(x)*exp(-inx),x=-p..p) = (f(p)exp(-inp)-f(-p)exp(inp))/(-in) - int(f'(x)*exp(-inx),x=-p..p)/(-in).
Dus de n-de coŽfficiŽnt van f is gelijk aan (-in) maal de n-de coŽfficiŽnt van f'. Pas het Riemann-Lebesgue lemma toe op f' en je hebt het geval k=1 bewezen.
De rest gaat net zo.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 10 maart 2010


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb