De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Binomiale gemiddelde

Zouden jullie het binomiale gemiddelde voor me kunnen afleiden van uit
_   1 k = E   k.P     00     k  
Ik hoop dat het duidelijk genoeg is.
Ik loop namelijk vast bij het gedeelte dat ze termen voor
de E gaan zetten.

Alvast bedankt

Maikel
Student hbo - zondag 15 december 2002

Antwoord

Hoi,

We noteren C(n,k)=n!/[k!.(n-k)!].

De bionomiaalverdeling is gegeven door pk=C(n,k).pk.(1-p)n-k. Dit stelt de kans voor op k successen bij n trekkingen, terwijl de kans op succes p is. (zie ook http://mathworld.wolfram.com/BinomialDistribution.html)

Gevraagd is de gemiddelde waarde E=sum(k.pk,k=0..n)

Welnu:
E
=sum(k.pk,k=0..n)
=sum(k.C(n,k).pk.(1-p)n-k,k=0..n)
=(1-p)n.sum(C(n,k).k.(p/1-p)k,k=0..n)
=(1-p)n.p/1-p.sum(C(n,k).k.(p/1-p)k-1,k=0..n)
=p.(1-p)n-1.sum(C(n,k).k.(p/1-p)k-1,k=0..n)

Het binomium van Newton leert: (1+x)n=sum(C(n,k).xk,k=0..n) en dus:
n.(1+x)n-1=sum(C(n,k).k.xk-1,k=0..n)

Zodat met x=p/1-p:
E=p.(1-p)n-1.n.(1+p/1-p)n-1=n.p

Waar we termen voor de 'sum' zetten, gebruiken we gewoon de uitbreiding van de eigenschap die zegt dat a.b+a.c=a.(b+c). Voor de rest is het enkel notatie...

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 december 2002


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb