De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewegend punt

Ik zit met 2 vragen voor ruimtemeetkunde.
1) Een bewegend punt bevindt zich op tijdstip t in P(0,3-t,t). Een 2de bewegend punt bevindt zich op tijdstip t in Q(3+t,0,t). Laat zien dat deze punten zich bewegen langs elkaar kruisende rechten.
Heb het volgende gedaan op tijdstip 0 is 1ste punt in (0,3,0) en 2de punt in (3,0,0) Stel dan de 1ste rechte op x=0 en y=3+kt en z=-t en de 2de rechte x=3+st en y=0 en z=st. Maar kom voor dit stelsel als oplossing k=-1 en s=-1 en t=3 op, dus zijn deze rechten niet kruisend? Waar zit mijn fout?

2) Een 2de vraag is: bespreek de onderlinge ligging van de vlakken 2x-ky-z=-1 en x-2ky+z=k en x+ky-2z=1 en heb wel het resultaat, nl. k=-2 dan snijden de 3 rechten en anders 2 aan 2 snijdend. Maar wat is de redenering om tot dit te komen? Zie wel dat ze niet evenwijdig kunnen zijn aan de cofficinten van x en y en z.

Vannes
3de graad ASO - donderdag 4 juni 2009

Antwoord

Hallo, Diana.
Eerst maar eens een correcte redenering, daarna kijken we wat u fout doet.

1) Stel dat de rechten niet kruisend en dus snijdend zijn.
Dan bestaan (eventueel verschillende) tijdstippen u en v zo dat
(0,3-u,u) = (3+v,0,v).
We concluderen:
0 = 3+v, dus v=-3;
3-u = 0, dus u=3;
u=v.
De drie conclusies zijn strijdig, dus zo'n snijpunt bestaat niet.

U gebruikt voor u en v scalaire veelvouden van t, dus u=kt, v=st. Dat kan in principe, al is het nodeloos ingewikkeld, mits k en s beiden niet 0 genomen worden.
Echter, voor de eerste rechte, stelt men y=3+kt, dan moet men z=-kt stellen ipv z=-t; voor de tweede rechte doet u het correct.
Uw "oplossing" geeft dus voor de eerste rechte z=-kt=3, voor de tweede z=st=-3, dus dat geeft geen snijpunt.

2) Meestal hebben drie vlakken drie verschillende snijlijnen die door n punt gaan; dat is alleen NIET zo wanneer de drie normaalvectoren lineair afhankelijk zijn.
Uw leraar heeft de drie normaalvectoren (2,-k,-1), (1,-2k,1) en (1,k,-2) echter z gekozen dat ze altijd lineair afhankelijk zijn: de eerste is de som van de tweede en de derde.
Daar geen van de drie normaalvectoren een scalair veelvoud is van n van de andere twee, zijn geen twee van de drie vlakken evenwijdig of samenvallend.
Dus treedt het overblijvende geval op: dat alle snijlijnen dezelfde richting hebben.
U moet nu voor elke k voor elk tweetal van de drie vlakken de snijlijn bepalen, om te zien of twee of drie van de drie snijlijnen samenvallen.
Voor het aparte geval k=0 wil ik u de uitkomst verklappen: dan zijn de drie snijlijnen (-1/3,l,1/3), (1/3,m,-1/3) en (-1,n,-1) verschillend.
Voor de andere k moet u de drie snijlijnen zelf bepalen. Dat kunt u voor alle k tegelijk aanpakken. Ik zie aan de formulering van uw tweede vraag dat u er nog niet veel werk aan verricht hebt. Succes.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 5 juni 2009



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb