De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Riemann-integratie (ondersom)

We hebben maandag examen en onderstaande oefening lukt maar niet:

f(x) = 1/2x2+1
h = 1/2
bereken de ondersom in [0,4]

dank bij voorbaat

Aje vl
3de graad ASO - vrijdag 6 december 2002

Antwoord

Beste Aje,

Ik neem aan dat je met h = 1/2 bedoelt : de breedte van elk deelinterval?
Er zijn dus in totaal 8 deelintervallen ( (4 – 0)/x = 1/2 Û x = 8) te weten : [0, 1/2], [1/2, 1], [1,11/2], [11/2, 2], [2,21/2], [21/2, 3], [3, 31/2], [31/2, 4].

Nu neem je de linkerwaarde van het deelinterval en vult deze in de functie in.
Dus voor het eerste interval is de hoogte f(0) = 1, voor het tweede f(1/2) = 9/8, … f(31/2) = 7,125.

De benaderde oppervlakte is dus 1/2(f(0) + f(1/2) + f(1) + f(11/2) + f(2) + f(21/2) + f(3) + f(31/2)).
Dus 1/2(1 + 1,125 + 1,5 + 2,125 + 3 + 4,125 + 5,5 + 7,125) = 12,75.

Begrijp je die 1/2? Je berekent namelijk eerst de oppervlakte van elk rechthoekje. En je telt daarna alle oppervlakten van de rechthoekjes op. De breedte van ieder rechthoekje bedraagt 1/2 en vermenigvuldigd met de corresponderende functiewaarde (linkergrens) krijg je de oppervlakte van het desbetreffende rechthoekje (oppervlakte rechthoek is namelijk breedte x hoogte). Omdat elk rechthoekje de breedte 1/2 heeft, mag je die buiten haakjes zetten (door de distributieve eigenschap vermenigvuldig je toch weer met 1/2). Je mag natuurlijk ook 1/2f(0) + 1/2f(1/2) + 1/2f(1) + … opschrijven, maar de vorige manier rekent sneller.

Nu is deze methode nog te doen aangezien er “weinig” deelintervallen zijn, maar indien er veel deelintervallen zijn, is het handiger om het sommatieteken te gebruiken.
In dit geval is de sommatie:

q5791img1.gif.

Des te meer deelintervallen je neemt, des te nauwkeuriger de oppervlakte onder de kromme wordt benaderd. De werkelijke waarde van de oppervlakte onder de kromme f(x) = 1/2x2 + 1 op het interval [0,4] is 14,66666… dus 14 2/3.

Ik hoop dat het nu wel duidelijk is, anders mail je maar terug.

q5791img2.gif

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 6 december 2002
  Re: Riemann-integratie (ondersom)  
 Re: Riemann-integratie (ondersom) 
  Re: Riemann-integratie (ondersom)  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb