De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Veelterm

Zou er iemand mij kunnen helpen, met een oef van complexe getallen want ik begrijp het niet zo goed.

* Bepaal de nulpunten van de veelterm
f(z) = z^3 - 5z^2 + 9z - 5 - j(z^2 - 4z + 5),

als je weet dat het reŽle deel van de tweede wortel het dubbele is van het reŽle deel van de eerste, en de imaginaire delen zijn gelijk. Bovendien is de derde wortel het complex toegevoegde van de tweede.

Evelie
Student Hoger Onderwijs BelgiŽ - donderdag 5 december 2002

Antwoord

Hoi,

Een derdegraadsveelterm heeft 3 nulpunten in . Met de info die je bijkomend hebt, kunnen we ze a+bi, 2a+bi en 2a-bi noemen (a en b zijn reŽel).

Je kan f(z) dus schrijven als k.(z-a-bi).(z-2a-bi).(z-2a+bi)=
k.(z-a-bi).[(z-2a)2+b2]=
k.(z-a-bi).(z2-4az+4a2+b2)=
k.[z3-5a.z2+(8a2+b2).z-a.(4a2+b2)-bi.(z2-4a.z+4a2+b2)]=
k.[z3-(5a+bi).z2+(8a2+b2+4abi).z-a.(4a2+b2)-4a2bi-b3i]

f(z) is ook te schrijven als
z3-(5+i).z2+(9+4i).z-5-5i.

Beide uitdrukking moeten term voor term gelijke coŽficiŽnten hebben, dus:
k=1
5a+bi=5+i
8a2+b2+4abi=9+4i
a.(4a2+b2)+4a2bi+b3i=5+5i


Omdat a en b reŽel zijn, moeten ook de imaginaire en reŽle gedeelten overeenkomen. Hieruit vind je makkelijk dat a=1 en b=1 en hiermee is aan alle vergelijkingen voldaan.

De oplossingen van f(z)=0 zijn dus 1+i, 2+i en 2-i.

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 5 december 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3