De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vergelijkingen - bewijs

Hey, in een driehoek waar het volgende geldt: a+▀+ř= moet het volgende bewezen worden :
cosa+cosb+cosř-1=4sin(a/2)sin(▀/2)sin(ř/2)
Ik ben begonnen met op cosa en cosb de formule van Simpson toe te passen, maar nadien raak ik compleet vast.

In diezelfde drihoek moet ook het volgende bewezen worden : cos2a+cos2b+cos2ř= 1-2sinasin▀cosř
Hierbij ben ik begonnen met 2sinasin▀ om te zetten naar sin2a maar daar ben ik later precies niets mee.

Alvast bedankt!

Thomas
3de graad ASO - maandag 2 december 2002

Antwoord

Beste Thomas,

Ik neem even A, B en C voor de grote hoeken en a, b en c voor de halve hoekjes.

Dus A+B+C= en a+b+c= /2.

Ik neem nu aan dat je verdubbelingsformules en somformules voor sin en cos weet.

Dan hebben we ten eerste de volgende afleiding:

sin(a+b+c) = sin( /2) = 1
sin(a)cos(b+c) + cos(a)sin(b+c) = 1
sin(a)cos(b)cos(c) - sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)sin(b)cos(c) + cos(a)cos(b)sin(c) = 1

Uit de laatste regel leiden we af dat

4sin(a)sin(b)sin(c) =
4sin(a)cos(b)cos(c) + 4cos(a)sin(b)cos(c) + 4cos(a)cos(b)sin(c) - 4 .....[1]

Aan de andere kant hebben we

cos(A) =
2cos2(a) - 1 =
2cos(a)sin( /2 - a) - 1 =
2cos(a)sin(b+c) - 1 =
2cos(a)cos(b)sin(c) + 2cos(a)sin(b)cos(c) - 1.

We vinden natuurlijk soortgelijke uitdrukingen voor cos(B) en cos(C) en door die op te tellen vinden we

cos(A) + cos(B) + cos(C) - 1 =
4sin(a)cos(b)cos(c) + 4cos(a)sin(b)cos(c) + 4cos(a)cos(b)sin(c) - 4 .....[2]

Combineren van [1] en [2] geeft de eerste gevraagde formule.

Ik denk dat je in de tweede formule een typfoutje hebt gemaakt en dat die moet zijn:

cos2(A) + cos2(B) - cos2(C) = 1 - 2sin(A)sin(B)cos(C)

Op soortgelijke wijze als hierboven kun je allereerst afleiden uit
cos(A+B+C)=-1 dat

cos(A)cos(B)cos(C)-cos(A)sin(B)sin(C)-sin(A)cos(B)sin(C)-sin(A)sin(B)cos(C) = -1

zodat

2 - 2sin(A)sin(B)cos(C) =
2cos(A)sin(B)sin(C) + 2sin(A)cos(B)sin(C) - 2cos(A)cos(B)cos(C)

en dus

1 - 2sin(A)sin(B)cos(C) =
2cos(A)sin(B)sin(C) + 2sin(A)cos(B)sin(C) - 2cos(A)cos(B)cos(C) - 1 .....[3]

Aan de andere kant geldt dat

cos2(A) = -cos(A)cos(-A) =
-cos(A)cos(B+C) =
-cos(A)cos(B)cos(C) + cos(A)sin(B)sin(C),

en evenzo

cos2(B) = -cos(A)cos(B)cos(C) + sin(A)cos(B)sin(C),

terwijl

-cos2(C) = -1 + sin2(C) =
-1 + sin(-C)sin(C) =
-1 + sin(A+B)sin(C) =
-1 + cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C).

Optelling van deze drie resultaten geeft precies

cos2(A)+cos2(B) - cos2(C) =
2cos(A)sin(B)sin(C) + 2sin(A)cos(B)sin(C) - 2cos(A)cos(B)cos(C) - 1 .....[4]

Combinatie van [3] en [4] geeft de (gewijzigde) tweede formule.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 2 december 2002



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb