De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vergelijking met logaritme van complexe getallen

Beste Wisfaq,

In het kader van complexe getallen wordt er gevraagd de volgende vergelijking op te lossen:

Log(z2 − 1) = pi/2

Verder weet je dat Log(z) = Log|z| + i Arg(z)
Wat is de meest efficiente manier om deze vergelijking op te lossen?

Ruud
Student universiteit - vrijdag 26 september 2008

Antwoord

Dag Ruud,

Uit Log(z)=Log|z|+ i Arg(z) zie je dat Log(z) bestaat uit een reŽel deel (namelijk Log|z|) en een imaginair deel (namelijk Arg(z)). Als je dat toepast op de opgave, dan merk je dat Log(z2-1)=ip/2 als reŽel deel nul heeft (dus log|z2-1|=0) en als imaginair deel p/2, dus Arg(z2-1)=p/2.

Uit dat eerste haal je dat |z2-1|=1 (dat kan je nu zonder problemen doen omdat die |z2-1| een positief reŽel getal is!). En het argument van z2-1 ken je nu ook, dat is p/2. Dus van het complexe getal z2-1 ken je zowel modulus als argument, en je besluit dat
z2-1=1*ei(p/2) dus z2-1=i dus z2=1+i.

Nog even oplossen naar z (daarvoor mss eerst die 1+i nog in exponentiŽle notatie omzetten) en je bent er.
NB in deze opgave had je ook direct kunnen zien dat z2-1=i, aangezien eip/2=i. Maar door met log|z| en arg(z) te werken kan je wel elke soortgelijke oefening aanpakken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 27 september 2008



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb