De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Zwaartepunt van oppervlak algebraisch bepalen

Gegeven is de functie f(x)=4/(x2) met x>0
De grafiek van f, de x-as en de lijnen x=1 en x=2 sluiten een vlakdeel V in.
Bereken algebraisch de coordinaten van het zwaartepunt Z van V.

Deze vraag kreeg ik op een dossiertoets, de x-coordinaat wist ik wel te bereken. Maar de y-coordinaat lukte mij niet. Ik heb geleerd de grafiek 90 graden te moeten draaien en zo een nieuwe functie op te stellen, rekeninghoudend met de x-grenzen. Misschien dat jullie me kunnen helpen met het draaien en de juiste functie?

Matthi
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 21 november 2002

Antwoord

Stel het zwaartepunt Z heeft coordinaten xz en yz.

xz kun je relatief eenvoudig berekenen, via:

xz=$\int{}$x.f(x)dx/$\int{}$f(x)dx met integratiegrenzen 1 en 2
=($\int{}$4/x dx)/($\int{}$4/x2 dx) = ... = 2ln2

De y-coordinaat is ietsje lastiger, zoals je wel gemerkt hebt.
de berekening van yz gaat in beginsel hetzelfde
yz=($\int{}$y.f(y)dy)/($\int{}$f(y)dy)

Je hebt nou een uitdrukking voor y=f(x), maar wat je nu nodig hebt is een uitdrukking voor x=f(y)
y=4/x2 $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ x=2/√y (de min-variant van x laten we achterwege)

Het maakt voor de y-coordinaat van het zwaartepunt niet uit dat we de functie f(y) met 1 verlagen, zodoende komt de onderste lijn van de integratiegrens op de y-as te liggen, en dat rekent makkelijker i.v.m. het integreren.

g(y)=f(y)-1=2/√y -1

yz=($\int{}$y.g(y)dy)/($\int{}$g(y)dy) met integratiegrenzen 1 en 4.

Merk op dat de grafiek (het bedoelde gebied) langs de y-as bezien opgesplitst moet worden in 2 stukken.
Van y=1 tot y=4 is g(y)=2/√y -1
van y=0 tot y=1 is g(y)=1

Dus
yz=($\int{}$y.1dy + $\int{}$(2/√y -1)ydy)/($\int{}$1dy + $\int{}$(2/√y -1)dy)
met de eerste integraal van teller en noemer y=0..1 eb de tweede integraal y=1..4

En volgens mijn berekening ZOU daar 7/6 uit moeten komen, maar het kan natuurlijk zijn dat ik ergens een rekenfoutje gemaakt heb.

groeten,
martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 23 november 2002
  Re: Zwaartepunt van oppervlak algebraisch bepalen  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb