De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Galois Theorie en Regelmatige veelhoeken

Goed, ik maak mijn profielwerkstuk over regelmatige veelhoeken . Mijn leraar heeft mij gevraagd uit te zoeken waarom bijvoorbeeld een regelmatige 7-hoek niet construeerbaar is met passer en liniaal en hij heeft mij daarbij op de galoistheorie gewezen.

Ik snap al dat je de punten van een regelmatige veelhoek, bijvoorbeeld een 3-hoek kan vinden in een complexe eenheidscirkel door de vergelijking x3=1 op te lossen. x4=1 lukt ook nog wel en x 7 = 1 is dus degene die ik moet bewijzen. Kunnen jullie mij op weg helpen?

Tim Fo
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 7 december 2007

Antwoord

Je moet laten zien dat de volgende oplossing van x7=1 niet met passer en liniaal te maken is: cos(2p/7)+isin(2p/7). Dat doe je door zijn zogenaamde minimale polynoom te bepalen; als de graad daarvan niet een macht van 2 is volgt dat dat punt/getal niet construeerbaar is.
Dat minimale polynoom is het polynoom van kleinste graad en met rationale coefficienten waar je getal nog een nulpunt van is. Omdat x7-1 = (x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) moet je laten zien dat de tweede factor niet te ontbinden is als (x2+ax+b)(x4+cx3+dx2+ex+f) met a, b, c, d, e, f rationaal; dat kost wat moeite maar met een beetje volhouden kom je er wel.
Hieronder staat een link naar een verhaal over de driedeling van de hoek.

Zie Constructies met passer en liniaal

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 7 december 2007
 Re: Galois Theorie en Regelmatige veelhoeken 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb