De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Convergente reeks

Beste wisfaq,

Gegeven dat lim (n- oneindig) an = a bewijs of geef een tegenvoorbeeld voor de volgende stelling:

als sn = 1/n (a1 + a2 + ... + an) dan sn - a als n- ondeindig.

Het probleem is het volgende. Als ik schrijf:

sn = (a1/n) + (a2/n) + ... + (an/n) dan gaat sn naar 0 als n- oneindig (en dus niet per se naar a).

Echter deze formule is als het ware de formule voor het gemiddelde. En dus sn = na/n = a ...

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.

Pieter

pieter
Student universiteit - zondag 2 december 2007

Antwoord

In je "afleiding" dat sn naar nul zou gaan verlies je uit het oog dat het aantal termen ook van n afhangt. De gezamenlijke teller is dus ook een functie van n, zodat je uit de n in de noemer geen conclusies kan trekken

In het volgende bewijs veronderstel ik de limietwaarde a=0 om de notatie niet nodeloos te verzwaren. De rij {an} gaat dus naar 0 en we moeten bewijzen dat dat ook voor {sn} geldt.

Die vraag is per definitie dezelfde als:

"Kan ik |sn| willekeurig klein (kleiner dan, stel, es) krijgen door n voldoende groot (groter dan, stel, Ns) te nemen?"

Wel, er geldt dat

|sn| = |a1+...+an| / n (1/n)(|a1|+...+|an|)

Kies nu eerst een (voorlopig) willekeurige ea. Door het bestaan van de limiet van de rij {an} weten we dat vanaf een of ander rangnummer Na geldt dat |an|ea. Als we veronderstellen dat n al minstens groter is dan Na, kunnen we bovenstaande som opsplitsen en stellen dat

|sn| (1/n)(|a1|+...+|aNa|+(n-Na)ea)

of, de eerste Na termen groeperend in X(Na)

|sn| (1/n)(X(Na)+(n-Na)ea)

Als we het rechterlid kleiner kunnen krijgen dan es dan zal ook |sn| dat zijn. Wel, de ongelijkheid

(1/n)(X(Na)+(n-Na)ea) es

wordt na wat herwerken

n (X(Na) - Naea) / (es - ea)

als we tenminste ea kleiner nemen dan es (waarom is dit logisch?).

Samenvattend: Als iemand met een es komt aandraven waar jij een passende Ns voor moet vinden, dan kies je een eaes (maar verder naar keuze) en bepaal je daar de bijbehorende Na bij (die bestaat wegens het bestaan van de limiet). Een mogelijke Ns wordt dan gegeven door

Ns = max(Na, (X(Na) - Naea) / (es - ea))

PS: Dit is een topic waar je (te) snel van kan denken dat je het begrijpt. Neem dus alles goed door en probeer in te zien waar de cruciale punten liggen in de redenering.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 2 december 2007


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb