De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Euler

hoe los ik door middel van de formule van Euler een n-de graads vergelijking op?

Ruud
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 september 2007

Antwoord

U bedoelt de formule wn=a (w,a$\in\mathbf{C}$)?
In bijzondere gevallen kan men een n-de-graads vergelijking p(z)=0 door een transformatie z=w+b in de vorm van deze formule gieten.

Voorbeeld: z3+iz2-z/3+1/27=0.
Dit kan men schrijven als (z+i/3)3 = -(1+i)/27, dus door w=z+i/3 gaat dit over in w3=a met a=-(1+i)/27.
Gebruik nu poolco顤dinaten: w=r(cosj+i新inj), a=((√2)/27)(cos(5$\pi$/4)+i新in(5$\pi$/4)).
De formule van De Moivre vertelt ons dat w3=r3(cos(3j)+i新in(3j)), dus r3=(√2)/27 en 3j=5$\pi$/4+2k$\pi$ voor k$\in\mathbf{Z}$.
Dan volgt r=(3√(√2))/3 en (j=5$\pi$/12 of j=13$\pi$/12 of j=21$\pi$/12.
Je kunt nu w terugvinden, en vervolgens z. De drie oplossingen zijn in het complexe vlak de hoekpunten van een regelmatige driehoek en liggen op een cirkel met middelpunt -i/3 en straal =(3√(√2))/3.

Opmerking: men gebruikt wel de afkorting eij voor cosj+i新inj.
In verband met de stelling van De Moivre klopt dit met de rekenregels voor machtsverheffen:
(eij)n = (cosj+i新inj)n = cos(nj)+i新in(nj) = enij.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 27 september 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb