De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Polynoom van sin (5x)

Ik heb moeite met de volgende som:
"Druk sin (5x) uit als polynoom in cos(x) en sin(x)."
Zelf denk ik dat je dit kan oplossen met behulp van complexe getallen (bijv: z = r*(cos(x) + i*sin(x)) ) maar ik weet niet hoe je het moet uitschrijven.
Alvast bedankt voor de hulp!

Aron
Student universiteit - dinsdag 4 september 2007

Antwoord

Dag Aron,

Een manier om dit op te lossen is zeker de volgende: schrijf sin(5x) als
sin(2x+3x)=sin(2x)cos(3x)+sin(3x)cos(2x) (somformule sinus)
Schrijf dan die 3x als x+2x, pas opnieuw somformules toe, en ga zo verder tot alles in sin(x) en cos(x) staat.

Je wil het blijkbaar met complexe getallen doen, dat kan allicht ook wel: bekijk volgende gelijkheden:
(cos(x)+isin(x))^5=e^(ix)^5=e^(5ix)=cos(5x)+isin(5x)

Dus het imaginaire deel hiervan heb je nodig (kijk maar naar de meest rechtse uitdrukking). Werk dus de vijfdemacht uit (bv met behulp van het binomium van Newton), isoleer het imaginaire deel, en dat zal dan een polynoom in cos(x) en sin(x) zijn. Bovenstaande formule (zonder de e-macht-tussenstap) staat gekend als de formule van de Moivre.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 4 september 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb