De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Goniometrische vergelijking

hallo kan er iemand my helpen?
ik zit vast aan enkele oefeningen :S...
cos2x.cosx.cos3x=1 - ik heb als cos3x en cosx samengenomen en dus 1=1/2.cos2x(cos2x+cosx)
2=cos2x(cos2x+cosx)
- Wat kan ik nog doen ??

ook by de volgende oefening zit ik vast:
tan6x-tan5x=1/2.sinx - ik heb als geprobeerd de sin naar et ander lid te brengen en dus die door de tangese te delen maar dat maak precies niet veel verschil...

ZOu er iemand my de juiste bewerkingen kunne geve ???
Heeeel er bedankt !!

Lieen
2de graad ASO - zondag 10 juni 2007

Antwoord

Hallo,

De eerste is wel een originele opgave... Je hebt een product van drie factoren, en dat moet één geven. Echter, die drie factoren zijn allemaal een cosinus, dus die liggen alledrie tussen -1 en 1. Mocht één van die drie factoren nu niet gelijk zijn aan 1 of -1, dan kan je dit niet meer oplossen, want dan zou één van de twee andere factoren groter moeten zijn dan 1 (of kleiner dan -1). Voorbeeld: mocht cos(x)=1/2 dan moet cos(2x)cos(3x) gelijk zijn aan 2, en je kan nooit 2 krijgen als je twee getallen uit het interval [-1,1] met elkaar vermenigvuldigt. Dus cos(x)=1 of cos(x)=-1 zijn de enige kandidaatoplossingen. Kijk eens welke x'en daarmee overeenkomen, en kijk of die keuzes van x voldoen aan de opgave.

Je kan het ook klassieker doen, dan was je goed begonnen. Alleen heb je de formule verkeerd toegepast: cos(x)*cos(3x)=1/2(cos(4x)+cos(2x)) zou het moeten zijn. Als je dan op die cos(4x) de dubbelehoekformule toepast in de cosinusvorm, dus cos(4x)=2cos2(2x)-1, dan heb je enkel nog termen met cos(2x) staan. Noem cos(2x) = y, je krijgt een derdegraadsvergelijking in y. y=1 is daar een oplossing van, voor het overige zijn er geen reële oplossingen. Dus weet je dat cos(2x)=1, dus 2x=2kp, dus x=kp met k een geheel getal kunnen de oplossingen zijn. Controleer dit nog even in de opgave.

De tweede opgave is wel lastig vond ik. Je kan ze als volgt oplossen: schrijf de tangensen als sin/cos, en vermenigvuldig dan links en rechts met cos(6x)cos(5x) zodat de noemers wegvallen. Je houdt over:
sin(6x)cos(5x)-cos(6x)sin(5x)=sin(x)cos(5x)cos(6x)/2

Dan kan je links een formule herkennen, namelijk die voor sin(a-b) met hier a=6x en b=5x. Het linkerlid is dus niks anders dan sin(x).

Dus staat er links en rechts een factor sin(x). Als deze verschilt van nul, dan kan je die schrappen en dan blijft er over: cos(5x)cos(6x)=2. Wegens dezelfde redenering als in de eerste vraag heeft dit nooit oplossingen. Echter, misschien zijn er wel oplossingen als die sin(x) wel gelijk is aan nul. En inderdaad, als sin(x)=0 dan x=kp en dan zijn alle termen uit de opgave gelijk aan nul, dus x=kp met k een geheel getal is ook hier weer een oplossing.

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 10 juni 2007



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb