De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Limiet van een som en limiet van een produkt

Beste,

Ik weet dat de limiet van een som en de limiet van een product resp. gelijk is aan de som van de limieten en produkt van de limieten (als en slechts als de limiet bestaat en een element is van )

Is het mogelijk dat u mij het bewijs (voor beiden)levert a.u.b?

Dank bij voorbaat.

Jan

Jan
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 30 januari 2007

Antwoord

Het lijkt me onwaarschijnlijk dat er in je boek of syllabus geen bewijs van deze twee stellingen staat. Ze behoren tot het allereerste begin van elke opleiding in de analyse.
Laten we de produktstelling maar nemen; de optelstelling is te flauw voor woorden. Het kan overigens over getalrijen of over functies gaan. Verschil is er eigenlijk niet, maar in je vraag ben je er niet duidelijk over.
Dan nu een bewijs:
Stel an®a en bn®b
Schrijf nu |ab - anbn| = |b|.|a - an| + |an|.|b - bn|.
Omdat het (absolute) verschil van a en an en ook van b en bn onbeperkt klein gemaakt kan worden en omdat |an| A is (waarbij A een getal voorstelt dat niet van n afhangt; deze afbakening volgt uit het feit dat uit de convergentie van de rij an volgt dat de rij begrensd is), is nu te zien dat |ab - anbn| onbeperkt klein kan worden, ofwel het produkt anbn heeft als limiet ab.

Het kan overigens best mooier opgeschreven worden, met e en d verhalen, maar hopelijk is de strekking duidelijk.

MBL

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 januari 2007
 Re: Limiet van een som en limiet van een produkt 


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb