De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Massa op tweedimensionaal gebied

Beste Wisfaq,
Ik kom niet uit de volgende opgave:
---
Het tweedimensionale gebied G wordt gegeven door:
G = {(x,y)R^2 | x 0 , x^2 y 2-x^2}
We beschouwen op G een massaverdeling met massadichtheid
p(x,y) = yx, (x,y)G

Bepaal de massa op G die bepaald wordt door de dubbele integraal op pdxdy.
---

Het probleem onstaat vanwege de y in de formule voor de massaverdeling. Zonder deze term zou ik de x simpelweg kunnen vermeniguldigen met (2-2x^2) om deze vervolgens te integreren, maar ik weet niet hoe ik dat nu op moet lossen...

Zouden jullie kunnen helpen?

Jelle
Student universiteit - maandag 21 oktober 2002

Antwoord

G is dus het gebied ingesloten door y=x2, y=2-x2 en de y-as

verder is p(x,y) een tweedimensionale gewichtsfunctie, net zoals in het dagelijks leven de dichtheid r van 3 dimensies x,y en z afhangt.
de funcie p is als het ware in kilogram per m2
dus om het totale gewicht M te berekenen, rekenen we de som uit van alle 'bijdragetjes' dm = p(x,y).dx.dy

nou loopt x van 0 (de y-as) tot 1 (het snijpunt van de 2 krommen), en y loopt van de onderste functie y=x2 naar de bovenste functie y=2-x2.

M= ( p(x,y).dy) .dx = ( yx.dy) .dx
waarbij de binnenste integraal loopt van ondergrens y=x2 naar bovengrens y=2-x2, en de buitenste integraal van x=0 tot x=1.

De binnenste integraal gaan we dus naar y primitiveren, en daarbij behandelen we x als zijnde een constante:
yx.dy = [y2.x]2-x^2x^2=
(2-x2)2.x - (x2)2.x =
(4-4x2+x4).x - x4x =
2x-2x2x+x4x - x4x =
2x-2x2x =
2x1/2 - 2x5/2

Nu dus nog dit resultaat van de binnenste integraal (waarbij we de y 'lekker' zijn kwijtgeraakt) integreren van x=0 tot x=1:
2x1/2 - 2x5/2 dx=
[4/3.x3/2 - ..... ehh

probeer het nu eens zelf weer verder

groeten,
martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 21 oktober 2002



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb