De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Zwaartepunt van een omwentelingslichaam

Hey,

Ik kom echt niet uit deze vraag:

Je hebt een omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van f(x)= x2 met domein [0,1] om de x-as te wentelen. Bereken de plaats van het zwaartepunt van dit omwentelingslichaam.

Kunnen jullie me dit aub stapsgewijs uitleggen? Ik heb hier erg moeite mee

Mark H
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 16 oktober 2006

Antwoord

Beste Mark,
dan zullen we het probleem van het zwaartepunt stapsgewijs opbouwen, van simpel naar iets ingewikkelder.
zwaartepunt. eerst simpel uitgelegd:
Stel je hebt 2 (punt-)massa's m1 en m2, en deze bevinden zich op een afstand s van elkaar. Waar ligt het zwaartepunt?

q47125img1.gif

In zo'n geval moet je wel eerst een co÷rdinatenstelsel kiezen. Het handigst is een co÷rdinatenstelsel met de oorsprong in 1 van de puntmassa's:

q47125img2.gif

De formule voor het zwaartepunt is z= m1x1+m2x2/(m1+m2)
(in dit voorbeeld is x1=0)

Als er nu niet 2 maar meerdere massa's zijn die zich op 1 lijn bevinden (bijv. n massa's), dan luidt de formule voor het zwaartepunt:
z=m1x1+m2x2+...+mnxn/(m1+m2+...+mn)

q47125img3.gif

De voorbeelden gingen tot dusver over 1 dimensie. Wanneer er n (punt)massa's verdeeld zijn over de ruimte, dus in 3 dimensies, dan moet het zwaartepunt ook in 3 co÷rdinaten worden uitgedrukt, de x, de y en de z-co÷rdinaat. De formule luidt dan:
z=m1x1+m2x2+...+mnxn/(m1+m2+...+mn)

Nu jouw omwentelingslichaam:
Dat kunnen we voorstellen als oneindig veel 'plakjes' met dikte dx, oppervlakte $\pi$y2, en afstand x tot de oorsprong:

q47125img4.gif

Stel eens dat het omwentelingslichaam overal dezelfde dichtheid $\rho$ heeft.
De massa van het plakje is gelijk aan het volume maar de dichtheid,
dus m = V.$\rho$ = A.dx.$\rho$ = $\pi$.y2.dx.$\rho$

In feite zijn er oneindig veel plakjes,... met oneindig kleine massa dm. en elk plakje bevindt zich op afstand x van de oorsprong.
Omdat het een omwentelingslichaam is, bevindt het zwaartepunt zich op de x-as. Het object is namelijk symmetrisch om de x-as.
Voor het zwaartepunt geldt dan:
z=$\int{}$x.dm / $\int{}$dm
= $\int{}$x.$\pi$.y2.dx.$\rho$ / $\int{}$$\pi$.y2.dx.$\rho$
($\pi$ en $\rho$ zijn constanten die tegen elkaar wegvallen in teller en noemer)
= $\int{}$x.y2.dx / $\int{}$y2.dx
= $\int{}$x.(x2)2dx / $\int{}$x5dx / $\int{}$x4dx
= [1/6.x6]/[1/5.x5]
(grenzen van 0 tot 1)
= (1/6)/(1/5)
= 5/6

groeten,
martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 17 oktober 2006


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb