De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Functie afhankelijk van afgeleide waarom een e macht

Dag ik ben opzoek naar het bewijs waarom een functie die afhankelijk is van de afgeleide hiervan altijd een e macht is? Bijvoorbeeld de volgende vergelijking.

Ic= C* dUc/dt
Uc=1/C* de intergraal Ic*dt

Uitgewerkt zal Uc(t) dus een e macht worden, waarom is dit zo?

j klaa
Student hbo - dinsdag 14 februari 2006

Antwoord

Ten eerste: als ``de afgeleide afhankelijk is van de functie zelf'' dan hoeft de functie niet noodzakelijk een e-macht te zijn; dat geldt alleen maar als de afgeleide op een speciale manier afhangt van de functie zelf. Bijvoorbeeld als ik eis dat f'=1/(2f) dan volgt dat f een wortel is: f(x)=x voldoet immers aan deze eis.
Ten tweede: als f'=a*f, met a een constante dan is f een e-macht en ook alleen maar een e-macht. Immers, we kunnen zeker zien dat f(x)=eax een oplossing is. Stel g is ook een oplossing; pas de volgende truc toe: schrijf g(x)=g(x)*e-ax*eax en kort g(x)*e-ax even af met h(x), dus g(x)=h(x)*eax. Vul dit nu even in in de vergelijking g'=a*g: er komt h'(x)*eax+h(x)*a*eax=a*h(x)*eax maar na links en rechts de juiste dingen wegstrepen komt er h'(x)*eax=0 en omdat de e-macht nooit nul is geeft dat h'(x)=0 en dus h(x) is constant, zeg met waarde K. Dan zien we dat g(x)=K*eax en dus is g zelf ook een e-macht.
De reden hiervoor is tweeledig: de echte e-macht ex is z'n eigen afgeleide en met behulp van de kettingregel kun je dan heel vaak een oplossing van een DV raden: zeg f'(x)=sin(x)*f(x); omdat sin(x) de afgeleide van -cos(x) is kun je meteen zien dat e-cos(x) een oplossing van de DV is. Aan de andere kant: als je de truc met g en h hierboven goed door hebt kun je nagaan dat elke andere oplossing van de DV van de vorm K*e-cos(x) zal zijn.
Het ligt dus aan: de e-macht zelf, de kettingregel en het feit dat functies met afgeleide nul allemaal constant zijn.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 14 februari 2006


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb