De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting

Ik heb een vraag over de inhoud van een kegel.
Door uitputting kan de inhoud van een kegel benaderd worden. Door de omsluitende cilinder te tekenen kan aangetoond worden dat de inhoud van de kegel 1/3 is van de inhoud van de cilinder.
Als je de cilinder indeelt in n-cilinders kan de inhoud van de kegel benadert worden. Door steeds meer cilinder te tekenen kan deze inhoud steeds beter benaderd worden.
De inhoud van zo'n cilinder is pr2h
h kan geschrven als hkegel/n
waarin n het aantal cilinder is.
Als je de inhoud van de kegel wil benaderen zul je nu elke keer opnieuw de radius in moeten vullen omdat deze wanneer je verder omhoog gaat steeds kleiner wordt.
Is er ook een manier de radius zo te schrijven dat je in een keer de inhoud van de kegel kan berekenen? Dus door alleen een n in te vullen, het aantal cilinders.
de formule die ik nu heb is pr2h/n met h de hoogte van de kegel.
Dit betekent dat je elke keer opnieuw de inhoud van de cilinder moet berekenen en daarna optellen. Wanneer je steeds meer cilinders neemt wordt het steeds lastiger om dit allemaal uit te rekenen en ik heb het idee dat dit ook wel makkelijker kan in 1 formule, het lijkt mij alleen niet helemaal om deze formule te vinden omdat de radius van alle cilinders niet gelijk is.
Alvast bedankt voor jullie hulp

Mark
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 23 januari 2006

Antwoord

OK eerst maar eens een plaatje.

q43212img2.gif

Ik heb een zijaanzicht getekend van de kegel. De cilindertjes laat ik uitsteken buiten de kegel. (Zou ook erbinnen kunnen).
Ik kies n gelijk aan 10.
Je moet nu de straal van de cilindertjes uitdrukken in r.
Het onderste cilindertje heeft straal r=10/10r.
Het een na onderste cilindertje straal 9/10r.
Die daar boven straal 8/10r enzovoort.
Het bovenste cilindertje straal 1/10r.
We krijgen dan:
$\pi$(10/10r)2h/10+$\pi$(9/10r)2h/10+$\pi$(8/10r)2h/10+...+$\pi$(1/10r)2h/10.
Je kunt dit schrijven als:
$\pi$h/101/100(102+92+82+....+12)r2=385/1000$\pi$hr2.

Nu nemen we n cilindertjes.
De stralen van de cilindertjes worden dan: n/nr, n-1/nr,n-2/nr,...,1/nr.
De formule voor de inhoud van alle cilindertjes samen wordt dan:
$\pi$h/n1/n2(n2+(n-1)2+(n-2)2+....+12)r2.
Een formule voor n2+(n-1)2+(n-2)2+....+12 is 1/6n(n+1)(2n+1).
(Een afleiding hiervan kun je vinden op somrijen)
Dus de formule voor de inhoud van de kegel die is opgesplitst in n cilindertjes die buiten de kegel uitsteken is:
$\pi$h/n1/n21/6n(n+1)(2n+1)r2=
1/6n(n+1)(2n+1)/n3$\pi$hr2
Je mag nu zelf nagaan dat als n heel groot wordt de inhoud nadert tot 1/3$\pi$r2h

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 23 januari 2006
  Re: Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting  
 Re: Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting 
  Re: Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb