De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Aantrekkingskracht

Ik ben opzoek naar de zwaartekracht in een (hemel)lichaam.

Een aantal dingen weet ik:

De aantrekkingskracht is: a1=F/m1=Gm2/r2
(a is de acceleratie, m2 is de massa van het hemellichaam, G is een gravitatieconstantem r is de straal van het lichaam)

Een bolvolume is: V=4 $\pi$ r3/3
(V is volume, r is de straal)

Een bolsegmentvolume is: S√(h)=(h2 $\pi$ /3)(3r-h)
(SV is het SegmentVolume, h is hier de huidigeafstand vanaf het middelpunt)

Een dichtheidsformule: m=VD
(m is de massa, V is het Volume, D is de dichtheid)

Nu kan ik het al volgt doen:

Ik heb een afstand h vanaf het middelpunt.
Dus heb ik een massa boven(naar oppervlakte) en een massa beneden(naar centrum).
De massa boven weet ik: m(h)=S√(h)D
De massa beneden weet ik ook m(rest)=V-m(h)

- uiteindelijk hoef ik me alleen maar bezig te houden met de volume verdeling -

Het massamiddelpunt(a) van m(h) is al lastig want:
Formule(1)
S√(h)=2S√(a)

Het massa middelpunt(b) van het onderste gedeelte is nog erger:

deel 1)Even splitsen, in massa middelpunt(c) van een halve bol:
Formule(2)
1/2V=2S√(c)
2 $\pi$ r3/3 = 2(c2 $\pi$ /3)(3r-c)
als is stel:
c=pr en c2=qr2 (dus q=p2)
dan streep ik de hele boel weg en hou over:
q(3-p)=1 -p3+3p2-1=0
met een numerieke methode: p(n+1)=√(1/(3-p(n)))
krijg ik: p$\approx$0.652704..

deel 2) en een massamiddelpunt(d) van het middengedeelte:
Formule(3)
- geen idee -

Ter illustratie:
(------c------|m|--d--|h|--a--)
m=middelpunt
h=huidige afstand
a=Massamiddelpunt boven
c=Massamiddelpunt halve bol
d=Massamiddelpunt middengedeelte

Het zwaartepunt(z) ligt in iedergeval op

aS√(a) -cS√(c) + dS√(d)
z= --------------------------
V

Zeer waarschijnlijk is dit alleen met n of meerdere integralen oplosbaar, maar ik weet niet waar ik beginnen moet; of er is gewoon een standaard formule voor.

Ik hoop dat u me kunt helpen hiermee,
Marchello

Marche
Leerling mbo - maandag 9 september 2002

Antwoord

Hoi,

Leg de oorsprong o in het punt waar je de versnelling wil berekenen en trek een willekeurig vlak door o en het centrum van het hemellichaam. De X-as ligt in dit vlak en gaat door het centrum van het hemellichaam, de Y-as zetten we er loodrecht op en in ditzelfde vlak.
Je hemellichaam is een cirkel C1 met centrum (h,0) en straal r. Teken ook een tweede cirkel C2 met centrum (-h,0) en straal r. Alle effecten van massa van het hemellichaam die buiten C1/C2 ligt, worden gecompenseerd. We moeten dus enkel het zwaartepunt van C1/C2 bepalen. Wegens symmetrie is het duidelijk dat dit zwaartepunt g op de X-as zal liggen.

De cirkels hebben volgende vergelijkingen
C1: y2+(x-h)2=R2
C2: y2+(x+h)2=R2

We hebben:
g = $\int{}$xdm/$\int{}$dm

Als elementaire dm nemen we bol-schijfjes op afstand x van de oorsprong. Zodat: dm = D.A(x).dx. Voor x tussen 0 en R-h hebben we: A(x) = $\pi$.(y12-y22) en voor x tussen R-h en R+h: A(x) = $\pi$.y12.

Dus:
g = ($\int{}$x.$\pi$(y12-y22)+$\int{}$x.$\pi$y12)/($\int{}\pi$(y12-y22)+$\int{}\pi$y12)

y1 en y2 halen we uit de vergelijkingen van de cirkels. In teller en noemer lopen de eerste integralen telkens van 0 to R-h en de tweede van R-h tot R+h. Voor de leesbaarheid liet ik telkens dx vallen...

Dit helpt je zeker op weg...

Groetjes,

Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 september 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3