De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

ReŽle ontbinding 32z^5 + 1 = 0

Beste,

Er werd gevraagd deze algebraÔsche vergelijking reŽel te ontbinden:
(waarmee men doelt op het wegwerken van de imaginaire termen mbv vermenigvuldiging van de overeenkomstige toegevoegde complexe termen)

V(z): 32z^5 + 1 = 0

De (5) wortels die ik vond via de goniometrische weg zijn
1/2 (cos(/5) + i. sin (/5))=??
1/2 (cos(3/5) + i. sin (3/5))=??
1/2 (cos(5/5) + i. sin (5/5))= -1/2
1/2 (cos(7/5) + i. sin (7/5))= ??
1/2 (cos(9/5) + i. sin (9/5))= ??

ik slaagde er niet in die cosinussen en sinussen weg te werken (behalve de 3de);

Er moet blijkbaar toch een manier bestaan om die (co)sinussen weg te werken, want de uitkomst moest zijn:

32z^5 + 1 = (2z+1)(4z2+(-1+÷5)z+1)(4z2+(-1-÷5)z+1)

dank bij voorbaat,

Joris

Joris
Student universiteit BelgiŽ - dinsdag 27 december 2005

Antwoord

Dag Joris,

Je wortels zijn correct. Merk dan op dat 9p/5 = 2p-p/5, dus die twee hoeken zijn elkaars supplement, dus:
cos(9p/5)=cos(p/5) en sin(9p/5)=-sin(p/5)
Als je deze vervangingen doorvoert krijg je een term van de vorm a+bi, en een term van de vorm a-bi, het product van die twee wordt dus inderdaad reŽel. Een zelfde truc kan je toepassen met de 3 en de 7.

Om de oplossing te krijgen die je zelf voorstelt, zal je dat product van de vijf factoren (z-wortel) moeten opschrijven, dan twee keer de juiste factoren vermenigvuldigen, en dan zal je ook nog een uitdrukking nodig hebben voor cos(p/5) en voor cos(3p/5)=-sin(p/5), anders kom je nooit aan die uitdrukkingen met ÷5. (zie mathworld)

Groeten,
Christophe.

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 28 december 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3