De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Reductie formules

Voor onze examen analyse moeten we een aantal reductie formules zelf kunnen bewijzen, nu ben ik bezig met de volgende formule:

̣sinn(x)·cosp(x) dx
=(n+p)· ̣sinn(x)·cosp(x)dx
= (p-1)· ̣sinn(x)·cosp-2(x)dx + sinn+1(x)·cosp-1(x)

Ik hebt dit gedaan met partiële integratie:

u = cosp-1(x)
= du = (p-1)·cosp-2·(-sin(x))dx
dv = cos(x)·sinn(x)dx = sinn(x)dsin(x)
= v = sinn+1(x)/(n+1)

De integraal wordt dan:

cosp-1(x)·sinn+1(x)/(n+1)-̣sinn+1(x)/(n+1)·(p-1)·cosp-2·(-sin(x))dx
=(cosp-1(x)·sinn+1(x))/(n+1)+(p-1)/(n+1)̣sinn+1(x)·cosp-2·sin(x)dx
=(cosp-1(x)·sinn+1(x))/(n+1)+(p-1)/(n+1)̣sinn+2(x)·cosp-2dx

Ik heb het gevoel dat ik er bijna ben maar die /(n+1) moet nog /(n+p) worden en binnen de integraal moet sinn+2(x) veranderd worden in sinn(x)

Zie ik iets over het hoofd?

Koen B
3de graad ASO - vrijdag 25 november 2005

Antwoord

Hallo

Ik kan je redenering niet goed volgen, maar ik stel andere oplossing voor.

Ik stel de opgave gelijk aan : I(n,p) =
̣sinn(x).cosp(x).dx =
̣sinn-2(x).(1-cos2x).cosp(x).dx =
̣sinn-2(x).cosp(x).dx - ̣sinn-2(x).cosp+1(x).cos(x).dx =
̣sinn-2(x).cosp(x).dx - ̣sinn-2(x).cosp+1(x).d(sin(x)) =
In-2,p - ̣cosp+1(x).d(sinn-1(x)/n-1) =
In-2,p - 1/n-1.̣cosp+1(x).d(sinn-1(x))

Op de tweede integraal passen we een partiële integratie toe :

In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) + 1/n-1.̣sinn-1(x).d(cosp+1(x)) =

In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) + 1/n-1.̣sinn-1(x).(p+1).cosp(x).d(cos(x)) =

In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) - p+1/n-1.̣sinn-1(x).cosp(x).sin(x).dx =

In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) - p+1/n-1.̣sinn(x).cosp(x).dx =

In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) - p+1/n-1.In,p

Deze laatste integraal is weer de beginopgave en brengen we terug naar het linkerlid :

In,p + p+1/n-1.In,p = In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x)

(n+p/n-1).In,p = In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) =

In,p = (n-1/n+p).In-2,p - 1/n+p.cosp+1(x).sinn-1(x)

Je ziet dat in de integraal de macht van de sinus gedaald is met 2.

Je kunt ook de macht van de cosinus laten dalen met 2.

Je begint dan met : I(n,p) =
̣sinn(x).cosp(x).dx =
̣sinn(x).cosp-2(x).(1-sin2x).dx = ...

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 26 november 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb