De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Produktformule van Euler

De volgende stelling moet ik gebruiken om fi (60) te berekenen. (Ik weet niet hoe ik het symbool van fi kan invoeren)

De produkt voor de fi-functie van Euler.
Zij mZ, m2, met priemontbinding
m = n
p(i) ^a(i) waarbij a(i) 0 voor
i=1

alle i. Dan geldt:

fi(m) = n
p(i)^a(i0-1 (p(i) -1)
i=1

Ik begrijp de tekens in de priemontbinding niet (oa ), wat wordt er bedoeld en hoe kan ik dit gebruiken?

BVD

Tjen
Student hbo - maandag 14 november 2005

Antwoord

Dag Tjen,
die notatie met een betekent het product van een aantal factoren net zoals de notatie met een een som van een aantal termen betekent. Zo is
6i=1i=1*2*3*4*5*6=720(=6!).
Zoals je weet kun je ieder geheel getal groter dan 1 op een unieke manier schrijven als een product van priemfactoren. Zo is 720=24*32*51.
De eerste notatie hierboven is daar een kortschrift voor: in het geval van n=720 geldt dus p(1)=2 en a(1)=4, p(2)=3 en a(2)=2, p(3)=5 en a(3)=1.
De getallen p(i) hoeven geen opvolgende priemgetallen te zijn. Bijvoorbeeld 56=23*71. In dit geval is p(1)=2 en p(2)=7.

De tweede formule vertelt dan hoe je de j-functie van Euler kunt berekenen als je de priemontbinding hebt gevonden. Voor iedere priemfactor p(i) verlaag je de exponent met 1 en vermenigvuldigt met p(i)-1.
Voor n=720=24*32*51 geldt dus j(720)=24-1*(2-1)*32-1*(3-1)*51-1*(5-1)=23*1*31*(2)*50*(4)=192.

Bij jouw opgave: bereken j(60), moet je dus eerst een priemontbinding van 60 maken: 60=22*3*5.
Dus j(60)=2*(2-1)*(3-1)*(5-1)=2*2*4=16.
Dat klopt want er zijn precies 16 getallen kleiner dan 60 die relatief priem zijn t.o.v. 60 (als je 1 meetelt):
1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49!!!!,53,59.



Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 14 november 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb