De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oppervlakte benaderen

Gevraagd is de oppervlakte tss y=x2 te benaderen met n-deel intervallen

Bovensom:
= 1/n f(1/n) + 1/n f(2/n) + .... + 1/n f (n/n)
= 1/n ( 1/n2 + 22/n2 + .... + (n-1)2/n2 + n2/n2 )
= 1/n3 (1 + 22 + ....+ (n-1)2 + n2)
We hadden dan een formule gezocht voor het gene tss haakjes en dit S genoemd.

Om S te bekomen moesten we dan volgende opdracht uitvoeren: Geg: (1+x)3-x3 = 1+3x+3x2
Hierin moesten we dan x vervangen door 1,2,.... n en op tellen.

We kwamen dan voor S = (2n3+3n2+n)/6 uit.

Maar waarom vertrekken we van (1+x)3-x3 om hieraan te geraken? En waarom beginnen we dan x plots te vervangen?
Graag een beetje extra uitleg...

Ann
3de graad ASO - zondag 2 oktober 2005

Antwoord

Dag Ann

Het is de bedoeling om een formule te vinden voor
S = 12 + 22 + 32 + ... + n2

Welnu :
(1+x)3 - x3 = 1 + 3x + 3x2

Je vervangt nu x door 1, 2 ... n:

voor x = 1 : 23-13 = 1 + 3.1 + 3.12
voor x = 2 : 33-23 = 1 + 3.2 + 3.22
voor x = 3 : 43-33 = 1 + 3.3 + 3.32
.
.
.
voor x = n-1:n3-(n-1)3 = 1 + 3.(n-1) + 3.(n-1)2
voor x = n : (n+1)3-n3 = 1 + 3.n + 3.n2

Nu zie je de som van de laatste termen van alle rechterleden precies driemaal deze som S is.

Als de som maakt van alle linkerleden, stel je vast dat hier heelwat wegvalt (23-23;33-33;...;n3-n3). Er blijft enkel nog over : (n+1)3-13 = n3+3n2+3n

De som van de eerste termen (telkens 1) van de rechterleden is gelijk aan n.1 = n

De som van de middenste termen van de rechterleden is 3.(1+2+3+...n) = 3.1/2.n(n+1) (som van de natuurlijke getallen).

Als je zo de som van de linkerleden gelijk stelt aan de som van de rechterleden heb je :

n3+3n2+3n = n + 3.1/2.n(n+1) + 3.S

Hieruit haal je nu S :

6.S = 2n3+6n2+6n-2n-3n(n+1)
6.S = 2n3+3n2+n

S = 1/6.(2n3+3n2+n)



Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 2 oktober 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb