De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Huygens; voorstellen 4 t/m 9

Wij maken ons profielwerkstuk over Christiaan Huygens. Onze opdracht is onder andere het, op moderne manier uitwerken van een aantal voorstellen van Huygens op het gebied van kansrekening, zoals hij beschreven heeft in zijn boekje `Van rekeningh in spelen van geluck`. Over het algemeen heeft ons dat geen probleem opgeleverd, maar wij hebben onszelf de uitdaging gesteld een algemene formule te maken waarin je variabelen hebt voor het aantal spelers van een kansspel, de kans op winst, en het aantal beurten die elke speler nog moet spelen omhet spel te winnen.

Een voorbeeld van zo´n spel is bijvoorbeeld het gooien van kop of munt met 2 spelers. Als je bijvoorbeeld zou doen wie het eerste 3 keer zou winnen, en speler 1 heeft 2 keer gewonnen, en speler 2 nog maar 1 keer, kan je berekenen, door middel van de kans op winst van het spel, welk deel van de inzet de spelers elk hebben, als ze het spel zouden beëindigen. Daarvoor hebben we de volgende formule gevonden:

Ua= 2I · (1-pRb)

Waarbij Ua is de uitbetaling aan speler A
I is de inleg van elke speler
p is de kans op winst per spelronde
en Rb is het aantal resterende spelrondes voor speler B om het spel te winnen.
Onze formule gaat alleen op als speler A nog maar één keer hoeft te winnen.

We hebben geprobeerd om ook een formule op te stellen voor meer dan twee spelers, of als er meer spelen dan 1 resteren voor speler A, om het spel te winnen, vooralsnog zonder succes.

Onze vraag is nu: Is het überhaupt mogelijk een geschikte algemene formule op te stellen? En zo ja, zou u ons wellicht een duwtje in de goede richting kunnen geven?

Bij voorbaat dank

Wilco
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 23 juni 2005

Antwoord

Beste Wilco en Wim,
Leuk onderwerp. Ik neem aan dat jullie het boekje van C Huygens: "van Rekenigh in Spelen van Geluck" Epsilon Uitgaven, Utrecht1998 (ISBN 90-5041-047-2) ,want daar staat alles in, maar misschien een beetje moeilijk leesbaar voor mensen van nu.
Daarom een paar opmerkingen die misschien helpen.
Het spel is als volgt. Er zijn 2 spelers A en B, zij spelen een aantal keren.
Bij ieder spel wint A een punt met kans p en B met kans q = 1 – p.
(Bij Huygens zijn p en q gelijk, p = q = 1/2, )
De winnaar van het hele spel is degene die als eerste 5 (of een ander aantal, bv 3) punten heeft. Die krijgt dan de hele inzet, zeg 10 Euro.
Als dit spel op zeker moment onderbroken wordt en op dat moment heeft A nog 1 punt nodig om te winnen en B nog 3, hoe zouden ze dan de inzet moeten verdelen ? Eerlijk lijkt: Geef A en B delen Ua en Ub van de inzet in de verhouding van hun kansen om het spel uiteindelijk te winnen. Dus Ua : Ub = Pa : Pb ( Pa is de kans dat A wint) Dus Ua = 10 Pa als de inzet 10 was en dat is ook zijn "verwachtingswaarde.
Het gaat dus erom uit te vinden wat Pa is in een gegeven situatie.
De situatie wordt bepaald door de aantallen punten die de spelers nog nodig hebben om te winnen. Dus zeg dat we in situatie (1, 3) zitten als A nog 1 punt nodig heeft en B nog 3. Schrijf nu Pa(1,3) voor de kans dat A wint gegeven deze stand van zaken (en inhet algemeen Pa(x, y) )
Het probleem is dus Pa(x, y) te vinden.
Begin eenvoudig. Je zult geen moeite hebben met de volgende relaties:
1) Pa(x, y) = 1 – Pb(x, y), waar bij Pb(x,y) de kans is dat B gaat winnen.
2) Pa(1, 1) = p en Pb(1, 1) = q
3) Pa(2, 1) = p^2 en Pa(1, 2) = 1 – q^2
4) Pa( k, 1) = p^k en Pa(1, k) = 1 – q^k voor k = 1, 2, 3, …
Om nu algemeen Pa(x,y) te vinden voor x en y groter dan 1, zijn er twee methoden,.
Methode 1 (Huygen zelf doet het zo)
Neem het geval (2, 2) Kijk wat er gebeurt bij de eerstvolgende stap.
Met kans p wint A een punt en dan zijn we in (1, 2)
Met kans q wint B een punt en gaan we naar (2, 1), Dus:
Pa(2, 2) = p.Pa(1,2) + q. Pa(2, 1) = p.(1 – q^2) + q.p^2
Algemeen geldt:
Pa(x, y) = p.Pa(x-1, y) + q.Pa(x, y-1) en met deze formule kun je van iedere situatie naar een lagere situatie komen. Bv Pa(2,3) = p.Pa(1, 3) + q.Pa(2,2)
Methode 2
Neem situatie (2, 3), A mist nog 2 punten en B nog 3.
Nu kan het in 2 spelen afgelopen zijn, maar het kan ook langer duren.
Hoogstens 4 spelen zijn er nodig. (dit is het geval als na 3 spelen ieder nog 1 punt mist )
Verander nu de spelregels en speek af dat er altijd 4 keer gespeeld wordt, nodig of niet en bepaal dat A de winnaar is als minstens 2 van die 4 spelen door A gewonnen worden. Je beredeneert gemakkelijk dat De kans om te winnen voor A niet verandert door deze nieuwe spelregel.
De kans om k keer te winnen in n spelen kun je vinden met de formules van de binomiale verdeling ( zoek dat op in je boek of op internet of waar dan ook als je het niet weet)

Drie spelers (of meer)
Methode 1 is weer van toepassing.
Spelers A, B en C winnen met kansen p, q, r bij ieder spel een punt.
Bepaal Pa(x, y, z) , de kans dat A gaat winnen al A nog x punten mist, B nog y en C nog z. Ga je gang. Methode 1 werkt ook hier. Methode 2?? Ben bang van niet.
Veel succes met jullie werkstuk

JCS
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 30 juni 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb