De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Inhoud met integratie

hallo,

ik moet het volume een lichaam bepalen met dubbele integralen.

de opgave luidt: lichaam binnen de twee cilinders x2+y2=1 en x2 + z2=1

nu, als je dat tekent dan bekom je een integratiegebied D dat de cirkel is met straal 1 en in het xy-vlak ligt, toch?

en is het lichaam eigenlijk een bol, toch?

om rekening te houden met het feit dat de bol verdeelt is over alle kwadranten is het om een logische inhoud te hebben aangewezen dat je uiteindelijk je bol in 8 deeltjes opdeelt en dan uiteindelijk 1 volume deeltje bepaalt over 1/4 van de cirkel D en dus ∑ 8 doet, toch

= 8 ∑ volume van 1 boldeeltje

met het volume van het boldeeltje de dubbele integraal over 1/4 van D ( het integratiegebied ), toch?

je gebruikt dan poolcoordinaten??

dus wordt de integraal over 1 deeltje:

integratiegebied word o$\leq$r$\leq$1 want straal is 1 in de cirkel

en 0$\leq\theta\leq$ $\prod$/2 omdat je dus 1/4 neemt van de cirkel

$\Rightarrow$

$\int{}$( van 0 to 1 )$\int{}$ van 0 tot $\prod$/2 ((√1-r2cos2$\theta$)∑r) met dus x=rcos$\theta$ en r determinant vna matrix jacobi omwille van coordinatentransformatie is dit allemaal juist? en hoe werk ik dat dan verder uit? Als het mis kunje me dan een hint geven?

dankje

maarte
Student universiteit BelgiŽ - maandag 20 juni 2005

Antwoord

Beste Maarten,

De doorsnede van 2 cilinders is geen bol, maar een 'kokinje'. De Engeltalige term is Steinmetz Solid. Zie Kokinje voor een figuurtje.

Wat het integreren betreft voor het volume, dit kan ook zonder poolcoŲrdinaten. We hebben dus 2 cilinders x2+y2=1 en x2+z2=1.

We snijden met het vlak z = 0 en zitten dus in het xy-vlak. Hier vinden we cirkels. Als je hier x laat lopen van -1 tot 1, dan loopt de bijbehorende y van -√(1-x2) tot √(1-x2). Dit volgt uit de vergelijking van de eerste cilinder.

In het yz-vlak loopt dan vervolgens, voor elke y, z van -√(1-y2) tot √(1-y2) zodat we uiteindelijk vinden voor het volume:

$
\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_{ - \sqrt {1 - x^2 } }^{\sqrt {1 - x^1 } } {\int\limits_{ - \sqrt {1 - y^2 } }^{\sqrt {1 - y^2 } } {dz\,dy\,dx} } }
$

Dit is wel een drievoudige integraal, maar die buitenste stelt natuurlijk niet veel voor, daar loopt x enkel nog van -1 tot 1. Als uitkomst zou je 16/3 moeten vinden.

mvg,
Tom

Zie Steinmetz Solid

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 20 juni 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb