De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Driehoeken in een regelmatige negenhoek

Vanuit een punt P binnen een regelmatige negenhoek worden lijnen getrokken naar de hoekpunten. De negen driehoeken worden genummerd 1,2,..,9. Het totaal opp. van nr. 1 en 4 en 7 is gelijk aan het totaal opp. van 2 en 5 en 8, en aan dat van 3 en 6 en 9.
Dat betekent dus dat de som van de hoogtelijnen uit de genoemde driehoeken gelijk is. Verschuif je het punt dan verandert de totaalwaarde niet. Hoe dit te bewijzen ? rotatie ?

Henk B
Docent - woensdag 27 april 2005

Antwoord

In onderstaande figuur is ABCDEFGHK de bedoelde regelmatige 9-hoek, met zijde a.
q37355img1.gif
Het niet moeilijk aan te tonen, dat de lijnen AB, DE, GH een gelijkzijdige driehoek XYZ vormen.
De hoogtelijnen van de driehoeken PAB, PDE, PGH (PZ', PX', PY') zijn de afstanden van het punt P tot de zijden van XYZ.
Nu is de oppervlakte van XYZ (en van de op dezelfde manier verkregen andere twee gelijkzijdige driehoeken, bij 2,5,8 en bij 3,6,9) constant; zeg, in de drie gevallen, gelijk aan k.
De oppervlakte van XYZ is, voor zekere r, ook gelijk aan
1/2PZ' ra + 1/2PX' ra + 1/2PY' ra = 1/2ra (PZ' + PX'+ PY')
Zodat ook PZ' + PX'+ PY' constant is (gelijk aan 2k / ra).
En dit geldt dus voor elk punt P bij de driehoek XYZ (en bij die twee andere).
Dus geldt het ook voor elk punt P bij de bedoelde 9-hoek.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 27 april 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb