De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Partile integratie en goniometrische substitutie

Ik weet niet goed wat ik met de volgende oefeningen moet aanvangen:

(1)
xBgsinxdx oplossen m.b.v. partile integratie

Ik probeerde:

= Bgsinx. x2/2.- (1/2)x2. 1/(1-x2)
Hoe kan deze laatste zonder goniometrisdche substitutie oplossen??

De juiste oplossing moet zijn:
(2x2-1)/4 Bgsinx + (1/4)x(1-x2) + c

(2)
dx/(x^3.(4-x2))


Ik deed het volgende:
x=2sint
dx=2costdt
- (4-x2)=2vost

Na vereenvoudigen kreeg ik:
=(1/8)dt/sin^3t

stel tan(t/2)=z dan is sint=2z/(1+z2) en dt=2dz/(1+z2)

Dan wordt de integraal(na vereenvoudiging):

=(1/32)(z^4+2z2+1)dz/z^3

De graad van de teller is groter dan de noemer dus deling geeft:
=(1/32)(z+(2z2+1)/z^3)dz
=(1/64)z2 + (1/32)(2z2+1)dz/z^3)

Dit laatste plitste ik op in partieelbreuken:

= (1/64)z2 + (1/32)(2/z+1z^3)dz
=(1/64)z2+(1/16)ln|z|- (1/64z2)+c
=(1/64)tan2(t/2)+(1/16)ln|tan(t/2)|- (1/64tan2(t/2))+c

Gebruikmakend van deze formule tan(t/2)=(1-cost)/sint en van een driehoekje bekwam ik:

= (1/64)((2-(4-x2))/x) + (1/16)ln|(2-(4-x2))/x| - (1/64)(x/(2-(4-x2)) + c

Helaas blijktde juiste oplossing iets heel anders te zijn:
= (-1/8)((4-x2)/x2) + (1/16)ln|((4-x2)-2)/x|

Wat deed ik precies fout?

Groetjes

Veerle
3de graad ASO - donderdag 7 april 2005

Antwoord

Beste Veerle,

1) Je zit dus vast bij de deze integraal? x2/(1-x2) dx
Persoonlijk zou ik het met deze substitutie aanpakken:

Stel y = (1-x2) = x = (1-y2) = dx = -y/(1-y2) dy

De integraal wordt dan: (1-y2) dy

Waarom zou je dit per se zonder goniometrische substitutie? Dat lijkt me hier anders perfect...

2) Ik volg nog volledig je redenering tot aan deze stap:
(1/32)(z4+2z2+1)/z3 dz

Dan is het me niet helemaal duidelijk wat je doet, je gebruikt ook splitsen in partile breuken? Je hebt een veelterm in de teller en een eenterm in de noemer: je kan de breuk toch splitsen in 3 afzonderlijke termen, en dus integralen?

(z4+2z2+1)/z3 dz
= z dz + 2dz/z + dz/z3
= z2/2 + 2*ln|z| - 1/(2z2) (+C)

Terug substitueren via z = tan(t/2) en via t = Bgcos((4-x2)/2).

Dan gebruik maken van die 'driehoekjes' (Pythagoras en sos/cas/toa) om het te vereenvoudigen.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 7 april 2005
 Re: Partile integratie en goniometrische substitutie 


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb