De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Goniometrische vorm

de goniometrische vorm van z2 - z
met z = cos∂ + i sin ∂

Gewoon invullen!
(cos∂+isin∂)2-cos∂+isin ∂
= cos2∂+2isin∂cos∂-sin2∂-cos∂+isin∂
= 2cos2∂-1-cos∂+i(2sin∂cos∂-sin∂)

Maar hiervan zou dan nog de modulus en het argument moeten berekend worden. Kunnen jullie mij hiermee helpen?

Inge
Student hbo - maandag 3 juni 2002

Antwoord

Weet wel dat je schrijft:
z=cosq+i.sinq
normaliter is dat namelijk
z=r.(cosq+i.sinq) met r=|z|
maargoed, ik ga ervanuit dat je je niet vergist hebt en dat z=cosq+i.sinq

Hoe kun je de absolute waarde bepalen van z2+z ?

Ik zou als volgt te werk gaan:
Je weet dat je een complex getal z ook in poolcoordinaten kunt schrijven, namelijk:
z = |z|.ei.arg(z)

verder geldt dat bij vermenigvuldiging van 2 complexe getallen z en w geldt:
z.w = |z|.|w|.ei.(argz + argw)

welnu, z2+z kun je schrijven als z(z+1), en
z(z+1)=|z|.|z+1|.ei.(argz + arg(z+1))

dus de absolute waarde van z2+z is |z|.|z+1|

|z|=(z.z*)
= (cosq + isinq)(cosq - isinq)
= (cos2q + sin2q) = 1 = 1

|z+1| = ((z+1).(z+1)*)
= (cosq+1 + isinq)(cosq+ 1 - isinq)
= ((cosq +1)2 + sin2q)
= (cos2q + 2cosq+1 + sin2q)
= (2cosq + 2) = (2(cosq + 1))

dus |z|.|z+1|= (2(cosq + 1))
**************************

Nu het argument van z2+z.
Voor het argument hiervan kan geen uitdrukking worden opgesteld, maar van de tangens ervan, wl.

z=cosq+i.sinq
z2+z = (cosq+i.sinq)2 + cosq+i.sinq
= cos2q + 2i.sinq.cosq - sin2q + cosq + i.sinq
= cos2q-sin2q+cosq + i(2sinqcosq + sinq)
= cos2q + cosq + i(sin2q + sinq)

waarbij ik gebruik gemaakt heb van de verdubbelingsformules
sin2q=2sinqcosq, en
cos2q=cos2q - sin2q

noem g het argument van z2+z, dan geldt dus

tang = (sin2q + sinq)/(cos2q + cosq)


groeten,

Martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 juni 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3