De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Berekenen van een bepaalde integraal (substitutie)

 Dit is een reactie op vraag 33747 
Beste,

dat was zeer zeker duidelijk! Bedankt voor uw degelijke uitleg!
Ik heb al een heel stel oefeningen correct kunnen oplossen daardoor.

Toch zit ik hier en daar nog met een vraagteken:

(1) [p/3 , p/6] dx/sin2x
Ik dacht aan hervolgde: (-1/2)ln |sin2x| maar dan bekom ik als uitkomst = 0 ? Hoe moet ik dit aanpakken?
De juiste oplossing: (1/2)ln3

(2) [p,0] xsinxcos4xdx we kregen als tip: stel x= p-u
Hier weet ik al helemaal niet hoe het verder moet. Zou u zo vriendelijk willen zijn me opnieuw verder te helpen aub?

Dank bij voorbaat

Vele groetjes

Veerle
3de graad ASO - dinsdag 8 februari 2005

Antwoord

Hi,

Die eerste is nogal een klassieker, maar niet echt makkelijk te zien. Je kan hem met de t-formules doen als je die gezien hebt...
Of ook zo: bedenk dat sin(2x)=2sinxcosx.
dx/(2sinxcosx)
= (cos2x+sin2x) / (2sinxcosx) dx (dat is de cruciale truc hier: je gebruikt de grondformule om de 1 te vervangen door cos2x + sin2x)
= 1/2 cos2x / (sinxcosx) dx + 1/2 sin2x / (sinxcosx) dx
= 1/2 cosx / sinx dx + 1/2 sinx / cosx dx
= 1/2 d(sinx) / sinx - 1/2 d(cosx) / cosx
= 1/2 ln(sinx) - 1/2 ln(cosx)
En als je dan je grenzen (correct) invult dan kom je inderdaad op (1/2)ln3 (je moet wel eerst nog wat rekenregels van logaritmen toepassen...)


Die tweede vraag: je zou gewoon domweg aan de integraal kunnen beginnen, partiele integratie toepassen en zo, en dan daarna je grenzen invullen, en dan kom je er wel. Echter, met die tip erbij kan het misschien sneller. Want wat gebeurt er als je x=p-u stelt:
x loopt van 0 tot p dus u loopt van p tot 0.
dx wordt -du
x wordt p-u
sinx wordt sinu en cosx wordt -cosu (goniometrische formules ivm supplement van een hoek)
Je krijgt zodoende de integraal:
(p-u) sinu cos4u d(-u) voor u van p tot 0
Omwisselen van de integratiegrenzen zorgt voor een minteken:
(p-u) sinu cos4u du voor u van 0 tot p
= p sinu cos4u du - u sinu cos4u du
Die eerste term gaat nu vrij eenvoudig met de substitutie t = sinu dus dt = cosu du. En die tweede term is gewoon de oorspronkelijke integraal...

Dus als je die integraal even 'I' noemt, dan staat er:
I = p sinu cos4u du - I
2I = p sinu cos4u du met grenzen: u van 0 tot p.

En dan moet je dus enkel nog die ene integraal uitrekenen met die substitutie die ik opgaf, en je bent er. Ik kwam uit op I = p/5.

Groeten

Christophe
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 8 februari 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb