De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs halveringsformule

Hallo, kan iemand me helpen met het bewijzen van de halveringsformule, ik heb de somformule wel al bewezen van behulp van de stelling van Plotzemaeus.

Ik snap niet waarom ze in de somformule de b door a vervangen en zo de verdubbelingsformule krijgen, en de a vervangen door 1/4a en dan de halveringsformule krijgen. Ik kan het bewijs wiskundig wel volgen, maar zie gewoonweg niet waarom ze dat invullen. Kan iemand dit misschien wat duidelijker maken met een plaatje oid?

Alvast bedankt

stepha
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 7 februari 2005

Antwoord

Dag Stephan,

Ik probeer het eerst zonder plaatje (moet kunnen!). Mogelijk dat ik toch een niet door jou gewenste kant opga, omdat ik niet weet wie je met 'ze' bedoelt.
Enneh, die Plotzemaeus is natuurlijk Ptolemaeus...

De somformule
sin(A + B) = sin(A)·cos(B) + cos(A)·sin(B)
geldt (uiteindelijk) voor alle waarden van A en B (A en B in graden, die ik verder maar weglaat).
Kies je (bijvoorbeeld) A = 45 en B = 30, dan kan je de sinus van 75 exact uitrekenen:
sin(75) = sin(30 + 45)= sin(30)·cos(45) + cos(30)·sin(45) =1/2·1/2√2 + 1/2√3·1/2√2 = 1/4(√2 + √6)
Maar je kan ook andere 'bijzondere' waarden voor A en B nemen; nu dan maar eens A = B = a (waarin we de waarde van a in het midden laten).
Dat geeft
sin(a + a) = sin(a)·cos(a) + cos(a)·sin(a)
zodat
sin(2a) = 2sin(a)·cos(a) ......(·)
En dan natuurlijk ook A = B = 1/2p ...
sin(1/2p + 1/2p) =sin(1/2p)·cos(1/2p) + cos(1/2p)·sin(1/2p)
zodat (wat p ook is)
sin(p) = 2sin(1/2p)·cos(1/2p)
En dit krijg je ook als je in de met (·) aangegeven formule a = 1/2p invult.

Je zou dus kunnen zeggen: de verdubbelingsformule is precies hetzelfde als de halveringsformule (het hangt er maar vanaf wat je invult).
Het komt er dus op neer, dat je voor A en B in de som-formule 'handige waarden' kiest. Handig zijn dan de waarden die tot het gewenste resultaat leiden...

En tot slot, toch maar een plaatje via onder staande link.

Zie Verdubbelingsformules

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 7 februari 2005



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb