De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Inhoud en oppervlakte formules van een bol bewijzen

Hoi WisFAQ,

ik heb zo goed als alle vragen bekeken, maar kon het antwoord niet vinden! Ik moet de oppervlakte en inhoudsformules van een bol bewijzen, maar heb geen idee hoe ik dit moet doen. Wel met integralen, maar ik snap niet hoe je:

van " x2 + y2 = r2 " d.m.v. integreren/primitiveren naar de formules I(bol)= 3/4pr3 en A(bol)= 4pr2 komt.

Wel weet ik dat I(bol)' = A(bol)

Alvast bedankt, Harm.

Harm
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 24 januari 2005

Antwoord

Beste Harm,

Als eerste een plaatje van de situatie (je ziet de bovenste helft van een cirkel).

q33185img1.gif

Je kunt een rechthoekige driehoek tekenen als je een punt (x,y) op de cirkel kiest. Het lijnstuk van de oorsprong naar het punt (x,y) is de straal aangegeven met r. Het horizontale stuk is aangegeven met x en het verticale stuk is aangegeven met y. In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras. Dus r2 = x2 + y2. We willen een uitdrukking in y hebben, dus hervormen we de vergelijking tot y2 = r2 - x2. Oftewel y = (r2 - x2). Let wel, dit is geen functie maar een relatie (er bestaan meerdere beelden voor n origineel). Als je y = (r2 - x2) plot zie je dat dit het 'bovenste gedeelte' van de cirkel beschrijft, en y = -(r2 - x2) is hetzelfde als y = (r2 - x2), maar dan gespiegeld in de x-as.
We kiezen y = (r2 - x2) als functie om via integreren de oppervlakte- en inhoudsformule van een bol te bepalen.

De formule om de oppervlakte van een omwentelingslichaam te bepalen is 2pabf(x)(1+(f'(x))2) dx.

Het integratiegebied loopt van -r tot en met r. (De x-as wordt links gesneden in het punt (-r,0) en rechts in het punt (r,0)).
Dus de oppervlakte van de bol wordt gevonden door de integraal 2p-rr(r2 - x2)(1+(((r2 - x2))')2) dx te bepalen.
q33185img2.gif

Dan de inhoud van een bol. De formule voor de inhoud van een omwentelingslichaam gaat als volgt pab(f(x))2 dx.

q33185img3.gif

Ik hoop dat het nu duidelijk is, zo niet reageer dan even.

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 januari 2005
  Re: Inhoud en oppervlakte formules van een bol bewijzen  


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb