De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Faculteit en getallen

 Dit is een reactie op vraag 32960 
Beste Els,
Dank U voor al de moeite bij uw uitleg over het gestelde probleem,maar ik zie het nog niet zitten.Graag wat meer verduidelijking omtrent uw uitgebreide, maar voor mij nog -angels en schietgeweren- bevattende exposť.Sorry, ik begrijp het nog niet goed...
Groeten van
Hendrik

hl
Ouder - zaterdag 22 januari 2005

Antwoord

Eerst en vooral moet je weten wat een faculteit is. Uit je vraagstelling bleek niet dat je dat niet zou weten.
Zodra je de definitie kent van faculteit kan je zelf een eenvoudig voorbeeldje construeren.

In de veronderstelling dat b>c>d>e: (met andere woorden b is minstens 3)

Stel b=6,c=5,d=4,e=3
= 6!+5!+4!+3! = 6.5.4.3!+5.4.3!+4.3!+3!
= (6.5.4+5.4+4+1).3!
Opdat dit een faculteit zou zijn moet 4 een deler zijn van (6.5.4+5.4+4+1). Op die manier kan je de uitdrukking dan schrijven als C.4.3! = C*4! met 4.C=6.5.4+5.4+4+1
Maar 6.5.4+5.4+4+1 is niet deelbaar door 4. (Controleer dit zelf maar eens)

Dus op die manier komen we nooit tot een faculteit.
De oorzaak ligt bij die +1 in (6.5.4+5.4+4+1) want al de rest is deelbaar door 4.
Dus, ofwel moet die 1 ook een 4 zijn, ofwel moeten de 4 termen allemaal oneven zijn en bijgevolg 1 (want ofwel bevatten ze een 4 (omwille van de faculteit) ofwel zijn ze 1). Het eerste geval impliceert dat e=4!, het tweede geval impliceert dat b=c=d=e=3! = (1+1+1+1).3! = 4.3!=4!

Stel e=4! en de rest blijft onveranderd.
dan is b!+c!+d!+e!=6!+5!+4!+4!=(6.5+5+1+1).4!
dit moet opnieuw een faculteit zijn van een zeker getal. Bijgevolg moet 5 een deler zijn van (6.5+5+1+1), maar 5 is daar geen deler van omdat 6.5+5+1+1 = 37 en 37 is niet deelbaar door 5.
De enige manier om er voor te zorgen dat die som deelbaar wordt door 5 is van die enen een 5 maken. M.a.w. we starten met b=6, c=d=e=5.
b!+c!+d!+e!=6!+5!+5!+5!=(6+1+1+1).5!=9.5!
dit is opnieuw geen a! omdat 9 niet deelbaar is door 6.
Indien opnieuw die enen in (6+1+1+1) zessen waren dan was die som wel deelbaar geweest door 6.

Met andere woorden, opdat je de faculteiten mooi zou kunnen optellen, moet b=c=d=e.
nu is voor een willekeurige b,c,d en e (alle vier gelijk)
b!+c!+d!+e!=4.b! En dit is pas een faculteit als 4 nog niet als factor voorkomt in b! = b=3 zodat b!=3.2.1
en a!=4!=4.3.2.1=4.b!

Nu stel dat b<3 want die gevallen zijn we nu wel overgeslaan. stel b=0 dan is ook c=d=e=0 met 0!=1 (per definitie) krijg je dat b!+c!+d!+e!=4.0!=4 wat geen faculteit is. => geen oplossing.
Voor b=1, krijg je naar analogie geen oplossing. 1!=1
Voor b=2 krijg je wel nog een oplossing nl: c,d,e allemaal 2 of 1
b!+c!+d!+e!=2!+c!+d!+e!= (2+c+d+e).1
Indien (2+c+d+e) deelbaar moet zijn door 2 dan moeten ze ofwel allemaal 2 zijn ofwel is bijvoorbeeld c=2 en d=e=1.
In het eerste geval krijgen we b=c=d=e=2 zodat b!+c!+d!+e!=4.2! Bijgevolg geeft dit geen oplossing.
In het tweede geval is b=c=2 en d=e=1 zodat b!+c!+d!+e!=2!+2!+1!+1!=2+2+1+1=6=3.2.1 = 3!

Met vriendelijke groeten,

Els

Els
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 januari 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb