De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Rij van Fibonacci

Zijn er twee getallen uit de rij van Fibonacci die als je die door elkaar deelt er precies 1.618033989 uitkomt?

Elias
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zaterdag 8 januari 2005

Antwoord

Je bedoelt hoogstwaarschijnlijk of het quotiŽnt van twee opeenvolgende termen (waarbij de teller ťťn term verder in de Fibonacci-rij is dan de noemer) uit de Fibonacci-rij ooit 1,618033989 bedraagt. Wel, het antwoord is nee.

Stel de "Fibonacci-termen" voor als F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2, ... , F(n) = F(n-1) + F(n-2).
De rij die jij bedoelt wordt dan G(1) = F(2)/F(1) = 1/1 = 1, G(2) = F(3)/F(2) = 2/1 = 2, ... , G(n) = F(n+1)/F(n).
Je kunt met allerlei wiskundige handelingen (eigenvectoren enz) een directe formule opstellen die de Fibonacci-term geeft als jij het rangnummer geeft.

Die formule is F(n) = (1/÷(5))*((1/2+1/2*÷(5))^n-(1/2-1/2*÷(5))^n).
Waarbij n het n-de Fibonacci-getal is.

Dus het quotiŽnt van twee opeenvolgende Fibonacci-getallen is F(n+1)/F(n) en dat is, hou je vast, G(n) = ((1/2+1/2*sqrt(5))^(n+1)-(1/2-1/2*sqrt(5))^(n+1))/((1/2+1/2*sqrt(5))^n-(1/2-1/2*sqrt(5))^n).
Als je hier n ģ dan krijg je F = 1/2(1 + ÷(5)) als limiet.

Jouw benadering is afgerond en groter dan F dus dat kan sowieso al niet worden bereikt. Al gaf je 1/2(1 + ÷(5)) dan kun je nog niet zeggen welke opeenvolgende termen door elkaar gedeeld F oplevert want het antwoord is een limiet (n wordt nooit echt oneindig).

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 8 januari 2005


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb