|
|
|
\require{AMSmath}
Re: Goniometrische vergelijking
Hoe zijn we zeker dat dit de enige oplossingen zijn?
Frans
Docent - donderdag 6 januari 2005
Antwoord
We hadden:
sin(x)+cos(x)+2sin2(x)cos2(x)=1
Dus
sin(x)+cos(x)=1-2sin2(x)cos2(x)
sin(x)+cos(x)=1-1/2sin2(2x)
(sin(x)+cos(x))2=sin2(x)+cos2(x)+2sin(x)cos(x)=1+sin(2x)
Omdat 1-1/2sin2(2x) 0 kiezen we de positieve wortel en we krijgen:
Ö(1+sin(2x))=1-1/2sin2(2x).
Kiezen we nu u=sin(2x) dan krijgen we
Ö(1+u)=1-1/2u2, waarbij moet gelden -1 u1.
Omdat voor u0 geldt Ö(1+u)1 en 1-1/2sin2(2x) 1 zijn er geen oplossingen voor u0.
Verder is in te zien dat u=0 een oplossing is. Deze oplossing komt overeen met de gevallen die in de vorige vraag zijn onderzocht.
Rest om aan te tonen dat er geen andere oplossingen zijn voor -1u0.
Links en rechts kwadrateren levert:
1+u=(1-1/2u2)2
1+u=1-u2+1/4u4
1/4u4-u2-u=0
u=0 hebben we al, dus we gaan na of voor -1u0
1/4u3-u-1=0 oplossingen heeft.
Differentieren levert 3/4u2-1=0 dus de toppen zijn voor u=±Ö4/3.
Voor u=-Ö4/3 is er een maximum. Berekenen van dit extreem levert een negatieve waarde op voor dit maximum.
Conclusie: er zijn op -1u0 geen nulpunten.
Dus de gevonden oplossingen zijn de enige.
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 januari 2005
|
|
klein |
normaal |
groot
home |
vandaag |
bijzonder |
twitter |
gastenboek |
wie is wie? |
colofon
©2001-2021 WisFaq - versie IIb
|
Dit is een reactie op vraag 32087