De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Identiteiten in driehoeken

Hallo,
Mijn vraag is de volgende:
a. Bewijs dat:" x,y interval( 0,p/2) waabij 0 en p/2 zelf niet inbegrepen zijn, de volgende identiteit:
1+2cos4y-(sin6x/sin2x)=16sin(x-y)sin(x+y)cos(x-y)cos(x+y).

b. hoeken a, b, en van de driehoek abc (met ab ) voldoen aan de betrekking:
sin(3a)/sin(a)-2cos(2b)*-1=4cotg(c/2)*sin(b-a).
Bewijs dat de driehoek rechthoekig is.
Men mag de identiteit gebruiken die in a. gegeven is, zelfs als het bewijs ervan niet is uitgewerkt

hl
Ouder - maandag 20 december 2004

Antwoord

dag Hendrik,

Voor de eerste vraag maak je gebruik van de volgende goniometrische formules:
2sin(x)cos(x) = sin(2x)
2sin(a)sin(b) = cos(a-b) - cos(a+b)
2cos(a)sin(b) = sin(a+b) - sin(a-b)

Zo maak je van het rechterlid achtereenvolgens:
4sin(2x-2y)sin(2x+2y) = 2(cos(4y) - cos(4x))
Nu valt de term met cos(4y) dus uit de identiteit weg (links en rechts) en blijft alleen over (vermenigvuldig links en rechts met sin(2x)):
sin(2x) - sin(6x) = -2cos(4x)sin(2x)
waarvan de identiteit direct volgt uit de laatste formule.

Dan vraag b.
Uit de identiteit van vraag a. (neem a=2x en b=2y) volgt dat het linkerlid gelijk is aan (zie eerste uitwerking van vraag a.):
-4sin(a-b)sin(a+b)
Volgens het gegeven is dit gelijk aan 4cotg(c/2)sin(b-a)
waaruit volgt:
sin(a+b) = cotg(c/2)
Omdat het hier om een driehoek gaat (hoekensom is 180), is sin(a+b) = sin(c)
dus geldt:
sin(c) = cotg(c/2)
Noem c/2 = p
Gebruik nu de formule voor sin(2p) en je krijgt:
2sin(p)cos(p) = cos(p)/sin(p)
Het oplossen van deze laatste vergelijking levert:
cos(p)=0 of cos(2p)=0
De eerste oplossing geeft:
c=180, en dat voldoet niet aan de eisen voor een driehoek.
De tweede oplossing levert het gewenste resultaat.
groet,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 20 december 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb