De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Afstand tussen punten

Opgave: Bepaal de punten die op afstand 14 liggen van elk van de punten a(1,0,3), b(2,-1,1), c(3,1,2).

Oplossing (deze is gegeven): (0,2,0)en (4,-2,4)

Ik ben aan deze oefening begonnen, en ik kom op volgend stelsel van vergelijkingen:
x-y-2z+2=0
x+2y+z-4=0
2x+y-z-2=0
En inderdaad, die oplossingen kloppen daarin. Het probleem is dat ik niet begrijp hoe die oplossingen uit bovenstaand stelsel volgen en ik weet ook niet of ik op de juiste manier bezig was.

Zou u me aub kunnen uitleggen hoe deze opgave opgelost dient te worden?

Heel erg bedankt,
Khalid.

Khalid
Student Hoger Onderwijs Belgi - woensdag 22 september 2004

Antwoord

Dag Khalid

Je hebt daar drie vergelijkingen. Elk van deze vergelijkingen bepalen een middelloodvlak tussen twee van de 3 gegeven punten. Alle punten op een middelloodvlak tussen 2 punten liggen op een gelijke afstand van die twee punten. Als je dus de snijlijn bepaalt tussen die 3 middelloodvlakken, bekom je alle punten die op een gelijke afstand liggen van de drie gegeven punten. Dit kan je doen door bovenstaand stelsel op te lossen. In feite heb je maar 2 middelloodvlakken nodig, de derde volgt uit de twee andere. Tel de 1e en 2e vgl maar eens op! Je zal zien dat je de derde bekomt. De derde vgl is dus overbodig (dit komt omdat de middelloodvlakken van 3 niet-collineaire punten elkaar altijd snijden in een rechte). Kies er dus twee uit en je hebt de vergelijking van de rechte waarop alle punten die op gelijke afstand van de gegeven punten liggen, liggen. Je kiest bv voor de eerste 2 vgl. De vgl van de snijlijn (van de 3 middelloodvlakken) wordt dan:

x-y-2z+2=0
x+2y+z-4=0

Je moet nu de twee punten zoeken op die rechte, die op 14 liggen van de gegeven punten. Het volstaat te eisen dat die twee gezochte punten op 14 liggen van n van de gegeven punten, omdat alle punten op die rechte zoiezo op gelijk afstand van alle 3 de punten liggen. Je kan bv de rechte parametriseren en dan de parameter bepalen door middel van de zojuist vermelde eis.

q27692img1.gif
(de groene lijnen zijn de 3 middelloodvlakken van boven uit bekeken. De snijlijn van de 3 middelloodvlakken is de paarse rechte, die je op deze tekening van boven uit bekijkt. De middelloodvlakken (groen) en de snijlijn (paars) ervan, staan dus loodrecht op deze tekening (=loodrecht op je computerscherm). Deze opgave heeft 2 oplossingen, n punt als het ware voor je scherm en n als het ware achter je scherm)

Veel succes

Igor
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 23 september 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb