De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Punt buiten driehoek berekenen

Ik heb een driehoek (eigenlijk een veelhoek). En ik wil daaromheen een evenwijdige driehoek tekenen met afstand m.
Als ik de coordinaten van punt a, b, c weet, hoe bereken ik dan b' ?

Floris
Iets anders - donderdag 15 juli 2004

Antwoord

Ik noem
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)

We verschuiven nu driehoek ABC zo dat het beeld van B in de oorsprong O komt te liggen:
O=(0,0),
P=(p1,p2)=(a1-b1,a2-b2)
Q=(q1,q2)=(c1-b1,c2-b2)
Lijn OP heeft vergelijking p1y-p2x=0
Lijn OQ heeft vergelijking q1y-q2x=0

Er zijn twee lijnen evenwijdig met OP op afstand m:
p1y-p2x=+/-m(p12+p22)

Er zijn twee lijnen evenwijdig met OQ op afstand m:
q1y-q2x=+/-m(q12+q22)
Het juiste teken kunnen we bepalen m.b.v. de uitdrukking d=q2p1-p2q1.

We krijgen:
p1y-p2x=-sign(d)(p12+p22)=r en
q1y-q2x=sign(d)m(q12+q22)=s
(sign(d) is het teken van d)
Het snijpunt van deze twee lijnen is
x=(rq1-sp1)/(q2p1-p2q1)=(rq1-sp1)/d
y=(rq2-sp2)/d

Met gebruikmaking van sign(d)/d=1/|d| en teruginvullen van r en s krijgen we:
x=-m((p12+p22)q1+(q12+q22)p1)/|d|
y=-m((p12+p22)q2+(q12+q22)p2)/|d|
(|d|=abs(d) is de absolute waarde van d)

Terugschuiven naar de oorspronkelijke driehoek en met gebruikmaking van de volgende afspraken:
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
p1=a1-b1
p2=a2-b2
q1=c1-b1
q2=c2-b2
d=q2p1-p2q1.
lp=(p12+p22)
lq=(q12+q22)
krijgen we dan uiteindelijk:
xb'=b1-m(lpq1+lqp1)/|d|
yb'=b2-m(lpq2+lqp2)/|d|

En dat vind ik een behoorlijk mooi antwoord!

Mocht het gaan om 3 punten in de ruimte:
A=(a1,a2,a3)
B=(b1,b2,b3)
C=(c1,c2,c3)
neem dan

p1=a1-b1
p2=a2-b2
p3=a3-b3
q1=c1-b1
q2=c2-b2
q3=c3-b3
lp=
(p12+p22+p32)
lq=(q12+q22+q32)
Voor d kan dan genomen worden:
d=(lp2*lq2-(p1q1+p2q2+p3q3)2)
We krijgen dan:
xb'=b1-m(lpq1+lqp1)/d
yb'=b2-m(lpq2+lqp2)/d
zb'=b3-m(lpq3+lqp3)/d

Een afleiding van deze formule kan handig gebeuren langs de volgende weg:

Het punt b' moet liggen op de bissectrice van hoek ABC.
Het punt b', het punt b en de projectie van B op BC (of BA) vormen een rechthoekige driehoek.
Het is dan mogelijk de lengte van het lijnstuk bb' uit te drukken in m en de hoek ABC: Het lijnstuk bb' heeft de lengte m/sin(0.5hoek(ABC)).
Dit combineren met een vectorvoorstelling van de bissectrice van hoek ABC levert dan bovenstaande formule.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 juli 2004
  Re: Punt buiten driehoek berekenen  


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb