De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

In een boldriehoek is de som van de hoeken altijd groter dan 180 graden

Hallo,
Wij zijn bezig met een PO voor wiskunde, en we zitten met een vraag: Hoe bewijs je dat, in een boldriehoek, de som van de 3 hoeken altijd groter is dan 180 graden.
Dank u!

Bart e
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 9 juni 2004

Antwoord

Even wat voorkennis:

Ik ga in dit bewijs werken met radialen. Ik neem aan dat je daar mee bekend bent.

Het overschot van de som van de hoeken boven p (=180) wordt het exces genoemd. Oftewel in boldriehoek ABC:
exces = A + B + C - p

Stelling:

In een willekeurige boldriehoek met straal 1 is de oppervlakte gelijk aan het exces.

Deze gaan we bewijzen

Gegeven:

Boldriehoek ABC op een bol met r = 1
a = BAC
b = ABC
g = ACB

Te bewijzen:

a + b + g = Opp(ABC) + p

Bewijs:

A' is het diametrale punt van A
B' is het diametrale punt van B
C' is het diametrale punt van C

NB: Het diametrale punt ligt precies aan de andere kant van de bol.

Voor de duidelijkheid even een figuur:

q25173img1.gif

De boltweehoek AA', die je krijgt door boldriehoeken ABC en A'BC samen te nemen, is a/(2p)de deel van de bol.

Opp.(bol) = 4p

Opp.(boltweehoek AA') = 4pa/(2p) = 2a

Opp.(ABC) + Opp.(A'BC) = 2a

Analoog vinden we:

Opp.(ABC) + Opp.(AB'C) = 2b
Opp.(ABC) + Opp.(ABC') = 2g

Tel de formules bij elkaar op zodat je krijgt:

2a + 2b + 2g = 3Opp.(ABC) + Opp.(A'BC) + Opp.(AB'C) + Opp.(ABC')

Met behulp van puntsymetrie in het middelpunt van de bol kun je zien dat:

Opp.(ABC') = Opp.(A'B'C)

Je krijgt dan:

2a + 2b + 2g = 3Opp.(ABC) + Opp.(A'BC) + Opp.(AB'C) + Opp.(A'B'C)

Opp(ABC) + Opp(A'BC) + Opp(AB'C) + Opp(A'B'C) is nu de oppervlakte van de halve bol. En dus gelijk aan 2p. En dus geldt:

2a + 2b + 2g = 2Opp(ABC) + 2p

Aan beide kanten delen door twee geeft:

a + b + g = Opp(ABC) + p
Q.e.d

Waar het allemaal om te doen was

Omdat een boldriehoek altijd een (positieve) oppervlakte heeft volgt hier direct uit dat het exces (=hoekoverschot) postief is. En dus is de som van de drie hoeken van een boldriehoek altijd groter dan p.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 16 juni 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb