De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Cirkelintegraal

08(8x-x2)dx=8

Hoe kom ik aan deze oplossing?
dank bij voorbaat

tim
3de graad ASO - maandag 10 mei 2004

Antwoord

Hoi tim

bedankt voor de prachtige opgave

Hier gaan we dan:
Deze integraal is om te vormen tot de cirkelintegraal (r2-x2)dx

1) Concentreer je eerst op wat onder staat:
8x-x2 = -(x2-8x) = -(x2-8x+16-16) = -(x2-8x+16) + 16 = 42 - (x-4)2
In principe gaan we dus een cirkel met middelpunt (4,0) en straal 4 integreren tussen x=0 en x=8.
Maak de tekening en je ziet dat ze niets anders dan de halve oppervlakte van deze cirkel vragen. Dus (p42)/2 = 8p
'Cadeautje', nietwaar?

2) Wil je dit 'cadeautje' niet zien en hardnekkig gaan integreren? Dan pas je eerst de substitutie: x-4 = 4sinq toe. Als je het goed doet krijg je 16cos2qdq.
Je past nu de halveringsformule uit de goniometrie toe: cos2q = (1+cos2q)/2 (deze is gewoon af te leiden uit: cos2q=cos2q-sin2q=2cos2q-1 (do you remember )
Hierdoor splitst de integraal zich in 2 stukken:
8dq en 8cos2qdq.
In het 2de stuk moet je de substitutie: sin2q=z toepassen.
Doe je dit correct, dan bekom je voor de volledige (onbepaalde) integraal: 8.q+4.z
Nu moet je de grenzen in rekening brengen:
ondergrens: x=0 = -4 = 4sinq = sinq=-1 = q=-p/2
en verder 2de substitutie z=sin2q geeft z=sin(-p)=0
bovengrens: doe je zelf .... je krijgt q=p/2 en z=0.
Vul deze grenzen in en je bekomt wat we al wisten hihi: 8p+0 = 8p

Frank

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 mei 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb