De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Tangens berekenen in een cirkel

Tangens(270+a)= -cotg ? is dit correct en hoe ga je best te werk om dit te kunnen zien in een cirkel

famke
1ste graad ASO-TSO-BSO - dinsdag 2 maart 2004

Antwoord

Beste Famke,

tan(270+a) is inderdaad -cot(a).
Dit kan ik je laten zien a.d.h.v. de zogeheten eenheidscirkel (soms ook goniometrische cirkel genaamd).
Dat is een cirkel met middelpunt op de oorsprong en met straal 1. Een been waarmee de gewenste hoek gevormd wordt ligt vast (namelijk vanaf 0 en op het positieve gedeelte van de x-as) en het andere been snijdt het ene been in de oorsprong (en ligt als het ware eerst "op" het vaste been). De hoek is positief als je tegen de klok in draait (dus als het ware naar het 'vrije' been naar boven "draait") en negatief als je met de klok mee draait (dus als je met het vrije been naar beneden draait).

We vertrekken van een willekeurige hoek die a is.
q20936img2.gif
Die hoek ligt (toevallig) in het eerste kwadrant. De cotangens-as is evenwijdig aan de x-as en gaat door het punt (0,1). De cotangens van a is de waarde van de lengte van het groene lijnstuk (links van de 0 negatief en rechts van de 0 positief). Let op: het bereik van de cotangensfunctie is , dus alle waarden ( met uitzondering van de hoek met als waarde de nulpunten van de sinusfunctie = de veelvouden van p daar bestaat de cotangens niet) kunnen worden aangenomen, die -1,0 en 1 zijn enkel ter indicatie.

Een hoek van 270 wordt bereikt door met het vrije been die de hoek bepaald 3/4 van de cirkel tegen de klok in te draaien. En omdat we 270+a moesten hebben draai je nog a verder tegen de klok in. Daar waar het vrije been de tangens-as snijdt (de tangens-as is een lijn evenwijdig aan de y-as door het punt (1,0) en hier geldt ook weer dat -1,0 en 1 enkel ter indicatie genoteerd zijn (die onderste 1 moet trouwens -1 zijn), het bereik van de tangensfunctie is ook met uitzondering van de hoek met als waarde de nulpunten van de cosinusfunctie = p+2kp waarbij k geheel want daar bestaat de tangens niet) wordt de waarde van tan(270+a) bereikt. Dit heb ik in het rood aangegeven. I.p.v. 270+a zou je natuurlijk ook 90 met de klok mee kunnen draaien (vanuit de beginpositie waarbij het vrije been nog 'op' het vaste been ligt) en daarna a tegen de klok in terug draaien, dus tan(-90+a) resulteert in hetzelfde.

Je ziet dat het rode lijnstuk even groot is als het groene, en dat de waarde tegengesteld is, want op de tekening zie je dat als a in 't eerste kwadrant ligt, tan(270+a) negatief is en dat cot(a) positief is.
Je kunt dit ook voor de andere kwadranten uittesten door een schetsje te maken. Algemeen geldt dus tan(270+a) = -cot(a).

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 3 maart 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb